方差計算公式

方差的概念與計算公式，例如 兩人的5次測驗成績如下：X： 50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73， 70，75，72，70 平均值E(Y)=72。平均成績相同，但X 不穩定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變數對於數學期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為E(X)：直接計算公式分離散型和連續型。推導另一種計算公式得到：“方差等於各個數據與其算術平均數的離差平方和的平均數”。其中，分別為離散型和連續型計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動程度。

基本介紹

• 中文名：方差
• 外文名：variance
• 實質：隨機變數對於數學期望的偏離程度
• 記法：D(X)
• 計算：平方的均值減去均值的平方
• 性質1：設C為常數，則D(C) = 0
• 性質2：D(CX)=C^2D(X)

方差的定義

設一組數據x₁,x₂,x₃……x_n中，各組數據與它們的平均數的差的平方分別是(x₁-)，(x₂-)……(x_n-)，那么我們用他們的平均數來衡量這組數據的波動大小，並把它叫做這組數據的方差。為了簡便（其中x為該組數據的平均值）。

總之，方差越小就越穩定

性質

方差的性質

1．設C為常數，則D(C) = 0（常數無波動）；

2．（常數平方提取）；

證：

特別地 D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)（方差無負值）

3．若X 、Y 相互獨立，則證：記則

前面兩項恰為 D(X)和D(Y)，第三項展開後為

當X、Y 相互獨立時，

故第三項為零。

特別地

獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

平均數：（n表示這組數據個數，x₁、x₂、x₃……x_n表示這組數據具體數值）

方差公式：

標準方差公式(1)：

標準方差公式(2)：

切比雪夫不等式

設隨機變數X具有數學期望，方差，則對於任意正數，不等式

成立。這一不等式成為切比雪夫(Chebyshev）不等式。

其他相關

常用分布的方差

1．兩點分布

2．二項分布 X ~ B ( n, p )

引入隨機變數Xi （第i次試驗中A 出現的次數，服從兩點分布）

3．泊松分布（推導略）

4．均勻分布 另一計算過程為

5．指數分布（推導略）

6．常態分配（推導略）

7.t分布：其中X~T（n），E（X）=0；

8.F分布：其中X~F（m,n）,

常態分配的後一參數反映它與均值的偏離程度，即波動程度（隨機波動），這與圖形的特徵是相符的。