方差公式

方差公式是一個數學公式，是數學統計學中的重要公式，套用於生活中各種事情，方差越小，代表這組數據越穩定，方差越大，代表這組數據越不穩定。

基本介紹

• 中文名：方差公式
• 領域：數學
• 套用：社會各方面
• 地位：數學統計學中的重要公式
• 性質1：D(CX )=C2 D(X )
• 性質2：設C為常數，則D(C) = 0

計算方法

若x₁,x₂,x₃......x_n的平均數為M，則方差公式可表示為：

方差公式

例1 兩人的5次測驗成績如下：

X： 50，100，100，60，50 ，平均成績為E(X )=72；

Y： 73， 70， 75，72，70 ，平均成績為E(Y )=72。

平均成績相同，但X 不穩定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變數對於數學期望的偏離程度。

單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為D(X )：

直接計算公式分離散型和連續型，具體為：這裡 是一個數。推導另一種計算公式

得到：“方差等於平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別為離散型和連續型的計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動

性質

1．設C為常數，則D(C) = 0（常數無波動）；

2． D(CX )=C²D(X ) （常數平方提取，C為常數，X為隨機變數）；

證：特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差無負值）

3．若X 、Y 相互獨立，則，證：記

前面兩項恰為 D(X )和D(Y )，第三項展開後為

當X、Y 相互獨立時，故第三項為零。特別地獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

方差公式：

平均數： （n表示這組數據個數，x₁、x₂、x₃……x_n表示這組數據具體數值）

方差公式：

常用分布

1．兩點分布

2．二項分布

X ~ B ( n, p )

引入隨機變數 Xi （第i次試驗中A 出現的次數，服從兩點分布）

3．泊松分布（推導略）

4．均勻分布

5．指數分布（推導略）

6．常態分配（推導略）

7.t分布 :其中X~T（n），E（X）=0； ；

8.F分布：其中X~F（m,n）, ;

常態分配的後一參數反映它與均值 的偏離程度，即波動程度（隨機波動），這與圖形的特徵是相符的。

例2 求上節例2的方差。

解 根據上節例2給出的分布律，計算得到

工人乙廢品數少，波動也小，穩定性好。

公式

設一組數據x₁,x₂,x₃……x_n中，各組數據與它們的平均數 的差的平方分別是(x₁- )²，(x₂- ²……(x_n- )²，那么我們用他們的平均數來衡量這組數據的波動大小，並把它叫做這組數據 的方差。