數據分析中的大規模矩陣最佳化模型求解算法研究

《數據分析中的大規模矩陣最佳化模型求解算法研究》是依託南京大學，由陳彩華擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：數據分析中的大規模矩陣最佳化模型求解算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：陳彩華
• 依託單位：南京大學

項目摘要

近年來，隨著現代信息技術的快速發展，人們在各個領域均會遇到高維數據的統計分析問題。由於數據的維數過高，傳統的統計方法往往失效，使得它成為目前套用數學中最困難也最有機遇的領域之一。為此，統計學家紛紛提出新方法、引入新概念來應對這一挑戰，在其中矩陣最佳化模型被廣泛的套用。本項目以此為背景，著重研究數據分析中的常見矩陣最佳化模型的算法和套用。具體而言，在本項目中，我們(1)將通過分析數據的結構，設計基於數據本身結構的各類高效算法，具體包括一階算法、一階—Newton CG混合算法和Newton方法等。並在此基礎上，研製滿足各種不同求解要求的matlab軟體包。(2)將結果套用於金融、管理科學中，進行數據分析處理，提取有效信息。

結題摘要

在數據分析中，經常會遇到向量、矩陣、圖像等龐大的數據，維數可以達到上萬、甚至更高，對於該類數據樣本數目可能遠小於數據的維數。因而需要利用數據的結構（如稀疏性、低秩）降維以提取潛在的信息。這些數特性一般可以通過對模型作適當的正則化而實現，其中矩陣最佳化模型被廣泛套用在矩陣和圖像數據的正則化中。本項目以此為背景，擬集合一階算法、半光滑Newton鄰近點算法、Newton法等研究數據分析中常見模型的求解算法，研製軟體包，套用於圖像科學、金融等各個領域中。 項目組與史丹福大學、新加坡國立大學、香港中文大學、香港浸會大學、中國科學院等科研機構開展了深入的合作研究，並已經超額完成預計任務；在國外知名刊物上發表論文7 篇，均被SCI收錄，其中SCI一區 4 篇（兩篇論文發表在Mathematical Programming, 兩篇論文發表在SIAM系列雜誌），並且有一篇論文入選ESI高被引論文，一篇論文獲得華裔世界數學家聯盟頒發的傑出論文獎勵。項目主持人參加了眾多的國內外學術會議並作報告，並且主持了2015年國際數學規劃分會的分組報告、以及擔任2016年國際連續最佳化大會的其中兩個小組的組織者。 項目按照申請書設計的技術路線與年度計畫有序進行。項目在理論與方法方面的貢獻主要包含：1、當數據分析中的模型目標函式為2塊的可分函式時，設計了帶慣性的交替方向法來求解上述問題，較經典的交替方向法相比算法的表現有了明顯的提高；2、當問題的塊數不少於3時，證明了交替方向法在求解該問題時可能不收斂，回答了交替方向法研究中的一個主要的公開問題。為了克服交替方向法可能的不收斂性，提出將其隨機排列的變形用於求解上述不可分問題，並在某些情形下得到了收斂性；3、當用戶需要高精度解時，提出了兩階段最佳化算法，起始用交替方向法，若難以達到目標，則在第二階段利用半光滑Newton-CG鄰近點算法進行加速。 此外，算法被套用在求解魯棒主成份分析、壓縮圖像重建、稀疏投資組合等模型中，並預期在數據分析中發揮更多重要，幫助從數據中提取潛在信息、進行最佳化決策。