大規模稀疏代數系統的預條件方法與降階模型研究

《大規模稀疏代數系統的預條件方法與降階模型研究》是依託西安交通大學，由李繼成擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：大規模稀疏代數系統的預條件方法與降階模型研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李繼成
• 依託單位：西安交通大學

中文摘要

大規模代數系統的數值解法問題由於其在工程領域中的實際套用，已經引起了眾多學者的重視。本項目根據大規模代數系統產生的實際背景和結構特點，採用矩陣低秩分解的思想，利用高階分塊方法，研究求其數值解的多種預條件方法、等價的約簡降階模型以及多種求解大規模代數系統的預條件快速降階算法。重點研究：含參數預條件方法的參數最佳化問題；研究基於矩陣低秩分解逼近的函式預條件子對鞍點問題數值解疊代算法收斂速度、算法的複雜性以及對疊代矩陣譜半徑的擾動問題；研究通過預條件方法，以加速計算的收斂速度，節約計算數據存儲空間為目標的大規模代數系統的等價約簡降階系統和降階模型算法；利用預條件思想，研究Arnoldi-Type、Krylov子空間、共軛梯度、矩陣HSS分裂疊代等算法的預條件可降階算法。最終擬研究出求解產生自流體力學、電磁學、圖像重構等一些具有實際套用背景的大規模代數系統的等價約簡降階模型方法和預條件降階算法。

結題摘要

本項目主要研究了三大類問題。 第一，在利用大規模疊代算法求解帶有多頻高振盪強迫項的二階微分方程和投影型反饋神經網路的過程中，研究數據舍取閾值的合理設定問題。對於帶有多頻高振盪強迫項的二階微分方程，提出了一種有效的漸近展式算法，該算法不僅可得到振盪因子負階的級數逼近方程的解，還可有效地離散此類微分方程。對於投影型反饋神經網路，藉助反饋神經網路非線性激活映射的本質特徵，基於Lyapunov 泛函方法和矩陣測度理論，直接去掉了網路中激活映射的對角非線性限制，得到了若干改善現有神經網路穩定性和收斂性結論的理論研究成果。 第二，研究大規模代數系統的預條件疊代算法和等價約簡降階模型以達到減小計算量的目的。首先研究代數系統係數矩陣的Schur-補性質、特徵值和奇異值的擾動界及約簡性質，得到了若干關於特殊類矩陣的Schur補的理論結果以及塊三對角矩陣的特徵值和奇異值的擾動界估計；然後構造大型稀疏鞍點問題和（廣義）Sylvester方程的預條件子並分析預條件疊代算法的收斂性，對鞍點問題提出了幾種修正的廣義加速超鬆弛疊代算法以及Uzawa型疊代算法，對（廣義）Sylvester方程在係數矩陣為正定矩陣時提出了幾種高效的類Smith方法，並且分別對所提出算法的收斂性進行了分析；最後研究了對於周期回響下非線性電路的穩定態分析問題和UPPAM反饋神經網路模型，對於前者，給出了用三次樣條插值小波調和平衡法和周期Daubechies小波平衡法的理論分析以及所得Jacobian矩陣的稀疏性分析，對於後者，給出了其在兩種不同條件下的動力學行為分析。 第三，研究低維張量逼近和余稀疏表示模型。對於張量空間的最佳秩-1近似比，建立了其與張量正交秩的關係，提供了一種估計其上界的方法並且得到了該上界。分別證明了兩類特殊結構張量最佳低秩逼近的存在性及一般張量最佳秩-1逼近的上下界。對於余稀疏表示模型，在具有自適應加權性質的貪婪分析追蹤算法的基礎上，提出在噪聲環境下的求解信號重構問題的重加權貪婪分析追蹤算法，並分析了算法的收斂性及求解模型的誤差上界。