復位勢

復位勢(complex potential)是流體靜力學的基本概念之一。指不可壓縮流體平面無旋運動中，由速度勢和流函式組成的解析函式。在不可壓縮流體的平面無旋運動中，速度勢留與流函式必間滿足柯西-黎曼條件。

基本介紹

• 中文名：復位勢
• 外文名：complex potential
• 領域：流體靜力學
• 性質：解析函式
• 組成：速度勢和流函式
• 條件：柯西-黎曼條件

概念

復位勢是流體靜力學的基本概念之一。指不可壓縮流體平面無旋運動中，由速度勢和流函式組成的解析函式。在不可壓縮流體的平面無旋運動中，速度勢φ與流函式ψ間滿足柯西-黎曼條件：

因此，複函數：

是復變數z=x+iy的解析函式。函式F的導數：

稱為共軛復速度，它也是解析函式。共軛復速度沿某封閉曲線l的積分(沿反時針方向)為：

Γ是沿曲線l的速度環量，Q是從曲線l所圍區域中流出的體積流量。當l所圍的區域中無奇點，並且此區域為單連通時，Γ和Q都等於零。

無旋運動

無旋運動是一種特殊流動。渦量處處等於零的流動稱為無旋運動。在無旋運動中，必存在某標量場φ，其梯度等於流速，v=gradφ，φ稱為速度勢。速度勢φ也可寫成：

這裡A是一個定點，可規定該點處的速度勢的值為零；B是動點，積分沿任何連結A和B兩點的曲線進行；dl是曲線上的微元向量。

流函式

流函式是與質量守恆緊密聯繫的函式。在不可壓縮流體的運動中，速度v需滿足方程▽·v=0。因此必存在某向量函式B，使得v=▽×B，B稱為廣義流函式。在平面流動中，如取直角坐標系，有

u和v是速度v在x方向和y方向的分量。函式ψ稱為拉格朗日流函式。拉格朗日流函式有以下性質：

1.曲線ψ(x，y)=常數，是一條流線；

2.流函式沿某一方向的導數，等於從此方向順時針旋轉90°角方向上的速度分量；

3.兩不同點上流函式之差，等於連結此兩點的曲線(單位厚度的柱面)上的體積流量。

在不可壓縮流體的軸對稱流動中，流函式ψ與廣義流函式B之間，在圓柱坐標系下有：

r是空間點到對稱軸的距離。而在球坐標系下，則有：

r是空間點到原點的距離，θ是緯度角。這時的流函式ψ稱為斯托克斯流函式。在可壓縮流體的定常流動中，廣義流函式B與速度v之間的聯繫是ρv=▽×B， ρ是流體密度。

流體靜力學

研究處於靜態的流體的力學分支(比較“流體動力學”〔hydrodynamics〕)。一般都認為是阿基米德首創。其套用包括貯存容器、閘門、水力裝置和大壩的閥門等的設計。

流體力學的一個分支學科。流體靜力學研究外力作用下流體相對靜止時的平衡條件、有關物理量在流體中的分布及流體與邊界之間的相互作用。研究流體靜力學問題可以以剛化原理為基礎。此原理認為：把流體中的任一部分剛化後，不會破壞流體原先的相對靜止狀態。相對靜止的流體中，任一截面上的剪下應力都等於零，因此流體中的應力張量一定是球對稱的。各分量可寫成：

δ_ij是克羅內克記號，p是壓力。

解析函式

能局部展成冪級數的函式，它是複變函數論研究的主要對象。解析函式類包括了數學及其在自然科學和技術套用中所遇到的大多數函式，這類函式關於算術、代數和分析的各種基本運算是封閉的，解析函式在其自然存在的域中代表唯一的一個函式，因此，對解析函式的研究具有特殊的重要性。

對解析函式的系統研究開始於18世紀。歐拉在這方面做出許多貢獻。拉格朗日最早希望建立系統的解析函式理論，他曾試圖利用冪級數的工具來發展這種理論，但未獲成功。

法國數學家柯西以他自己的工作被公認為是解析函式理論的奠基者。1814年他定義正則函式為導數存在且連續，他批判了過去許多錯誤的結果，創立了若干法則，以保證級數運算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西積分定理，隨後又建立了柯西積分公式。柯西利用這些工具得到了正則函式在它的定義域內處處可表為收斂的冪級數的結果，其逆命題亦真。所以解析和正則是等價的。後來黎曼對柯西的工作做出了重要的發展。1900年，法國數學家古爾薩改善了正則函式的定義，只要求函式在定義域中處處有導數。

外爾斯特拉斯以冪級數為出發點開展對解析函式的研究。他定義正則函式為可以展開為冪級數的函式，創立了解析開拓理論，並利用解析開拓定義完全解析函式。柯西的方法限於研究完全解析函式的所謂單值分支，必須通過解析開拓才能和外爾斯特拉斯的理論統一起來。