弦長定理

弦長定理是弦長積定理與弦長和定理的合稱。

弦長積定理：弧上所有點中，弧的中點到弧兩端的距離乘積最大。

弦長和定理：弧上所有點中，弧的中點到弧兩端的距離之和最大。

基本介紹

• 中文名：弦長定理
• 外文名：The Chords' Length Theorem
• 提出者：With an Orchid
• 提出時間：2019年08月10日
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學

定律定義

弦長定理是弦長積定理與弦長和定理的合稱。

弦長積定理：弧上所有點中，弧的中點到弧兩端的距離乘積最大。

弦長和定理：弧上所有點中，弧的中點到弧兩端的距離之和最大。

幾何表述：如圖，在⊙ 中， 為弧 的中點， 為弧 上任意一點，則有：

（弦長積定理）

（弦長和定理）

推導過程

弦長積定理

【證法一】設∠ ， ,

由餘弦定理有：

即 ，

則 ；

由 得 ，

∴ ，即

由半角公式得： ,

∴ ,

過點M作MH⊥AB於點H，

∵AM=BM，∴∠1=∠2= ，

∴ ，

即

【證法二】由證法一中 可得：

，

∴

易知當 達到最大值時， 達到最大值，

由弦長和定理可得，此時P與M重合， ，

∴ 。

弦長和定理

【證法一】同弦長積定理證法一的過程，有：

則 ，

∴ ，

其中 為定值，且 ，

即當 取最大值時， 達到最大值。

由弦長積定理可知 ，

∴當 時， 達到最大值，

此時P與M重合

即 ，

∴ 。

【證法二】如圖，延長 至點Q，使PQ=BP，連結BQ。

弦長和定理 證法二

則 ，且∠BQP= ∠P= ∠M，

∴點Q在以M為圓心，MA為半徑的圓上，

∴AQ的最大值為⊙M的直徑，即 ，

∴ 。

【證法三】如圖①，過點P作直線∥AB,作點B關於直線 的對稱點B',

連結B'P,AB'，則有BP=B'P。

在△AB'P中，易得，即。

易知當A,P,B'三點共線時，AP+B'P達到最大值。

弦長和定理 證法三 圖①

如圖②，當點P運動到點M時，連結OP交AB於點H，

由垂徑定理得OP⊥AB，又∥AB，∴∠2+∠3=90°。

易證∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠APB'=180°，

即A,P,B'三點共線，AP+BP達到最大值，

此時∵點P與點M重合，

∴PA+PB=MA+MB，

則

弦長和定理 證法三 圖②

發展簡史

由一道國中課後題引發的數學規律探究：原題為2016年陝西數學中考壓軸題，如圖：

　　

大多數教參所給答案均以“顯然”二字敷衍而過，因此大家自發思考，進行總結歸納，不斷嘗試新的方法，或簡或繁，但體現了大家的創造性思維。