垂徑定理

垂徑定理是數學幾何(圓）中的一個定理，它的通俗的表達是：垂直於弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧。數學表達為：如圖，直徑DC垂直於弦AB，則AE=EB，弧AD等於弧BD（包括優弧與劣弧），半圓CAD=半圓CBD。

基本介紹

• 中文名：垂徑定理
• 外文名：Vertical theorem
• 別稱：垂定
• 表達式：無
• 提出者：歐幾里得（Ευκλειδης）
• 提出時間：約前300年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：幾何，解析幾何
• 適用領域範圍：有圓的平面直角坐標系

定理定義

垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。

一條直線，在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件,就可以推出其他三條結論。稱為知二得三（知二推三）。

1. 平分弦所對的優弧
   
2. 平分弦所對的劣弧（前兩條合起來就是：平分弦所對的兩條弧）
   
3. 平分弦（不是直徑）
   
4. 垂直於弦
   
5. 過圓心
   

數學證明

如圖 ，在⊙O中，DC為直徑， AB是弦，AB⊥DC於點E，AB、CD交於E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

證明	圖示
連線OA、OB分別交⊙O於點A、點B; ∵OA、OB是⊙O的半徑; ∴OA=OB; ∴△OAB是等腰三角形; ∵AB⊥DC; ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三線合一）; ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC; ∴弧AC=弧BC	垂徑定理圖示

推導定理

推論一：平分弦（非直徑）的直徑垂直於這條弦,並且平分這條弦所對的兩段弧。

原本命題，其中CD垂直於直線AB

幾何語言：∵DC是直徑，AE=EB

∴直徑DC垂直於弦AB，劣弧AD等於劣弧BD，優弧ACO=優弧BCO

推論二：弦的垂直平分線經過圓心,並且平分這條弦所對的弧。

幾何語言：∵DC垂直AB，AE=EB

∴DC是圓的直徑，劣弧AD等於劣弧BD，優弧ACO=優弧BCO

推論三：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,並且平分這條弦所對的另一條弧。

推論四：在同圓或者等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等。

定理簡史

歐幾里得（古希臘數學家 希臘文：Ευκλειδης. ，公元前330年~公元前275年，）幾何原本第I卷中的第12個命題實際即為垂徑定理，這可能是最早的有關於垂徑定理的記載。

定理意義

垂徑定理是圓的重要性質之一，它是證明圓內線段、角相等、垂直關係的重要依據，也為圓中的計算、證明和作圖提供了依據、思路和方法。