關於三維流形的一個重要猜想。它指的是一個三維流形能分割成具有八種標準幾何結構之一的子流形。 它是二維曲面單值化定理在三維流形上的一個類似。
基本介紹
- 中文名：幾何化猜想
- 外文名：Geometrization conjecture
- 提出者：威廉.瑟斯頓
- 提出時間：1982
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：低維拓撲
簡介,格里戈里·佩雷爾曼,龐加萊猜想,基本描述,證明歷史,最終證明爭議,
簡介
威廉·瑟斯頓（Thurston）的幾何化猜想（geometrization conjecture）指的是，任取一個緊緻(可能帶邊)的三維流形作連通和分解以使其成為儘可能簡單的三維流形的連通和，對於帶邊流形可能還需要沿著一些圓盤繼續切割，有唯一的方法沿著一些環面(如果是帶邊流形還要加上平環)割開得到儘可能簡單的若干小塊，這些小塊均為八種標準幾何結構之一。
八種標準幾何結構均為完備的黎曼度量，這些幾何結構在某種意義上是比較“好”的，例如體積有限、“直線”都可無限延伸等等。
1.標準球面
, 具有常曲率
2.歐氏空間
, 具有常曲率
3.雙曲空間
, 具有常曲率
4.
5.
6.特殊線性群
的萬有覆蓋上的左不變黎曼度量
7.冪零幾何
8.可解幾何
格里戈里·佩雷爾曼
2002年11月他在arXiv發表了一篇文章，這是一系列文章的第一篇。這些文章似乎說明佩雷爾曼證明了幾何化猜想，這個猜想的一個特殊情況就是龐卡特猜想。許多人認為，法國數學家昂利·龐加萊於1904年提出的龐加萊猜想是拓撲學最著名的未解決的問題。許多數學家試圖證明這個問題，克萊數學學院為它的解決出賞金一百萬美元。
佩雷爾曼的解題方案在於使用里奇流來改變理察·哈密頓的幾何化方法。與直接的拓撲學方案相比，這個方案似乎更可行。數學界經過反覆的檢查，最終認為他的證明沒錯。
1990年代初他拒絕接受歐洲數學協會的獎金，有人說他是“非常不物質主義”。他也不打算將他的證明發表在任何同行評審的數學雜誌上，而在一份同行評價的雜誌上發表其證明是獲得該獎金的條件之一。另一方面其他數學家對他在預印本文獻庫上發表的文章的檢查已經遠超過了雜誌中的同行評價，該獎金的委員會表示在這種情況下它可能修改獲得獎金的條件，對預印本文獻庫來說，這是一個非常重要的步驟，因為它將arXiv預印本文獻庫提高到與傳統出版物相同的地位。
2005年底，他辭去了斯捷克洛夫數學研究所工作，住在聖彼得堡其母親的公寓，以他母親的退休金和他的積蓄為生。
2014年7月，有數家俄羅斯媒體報導，佩雷爾曼前往瑞典生活，取得十年工作簽證，在一間奈米科技公司工作，不過仍然保留俄羅斯公民身份。
龐加萊猜想
龐加萊猜想最早是由法國數學家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數學研究所懸賞的數學方面七大千禧年難題之一。2006年確認由俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼完成最終證明，他也因此在同年獲得菲爾茲獎，但並未現身領獎。
基本描述
上述簡單來說就是：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價於三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個柳橙表面的橡皮筋，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想像同樣的橡皮筋以適當的方向被伸縮在一個甜甜圈表面上，那么不扯斷橡皮筋或者甜甜圈，是沒有辦法把它不離開表面而又收縮到一點的。我們說，柳橙表面是“單連通的”，而甜甜圈表面則不是。
該猜想是一個屬於代數拓撲學領域的具有基本意義的命題，對“龐加萊猜想”的證明及其帶來的後果將會加深數學家對流形性質的認識，甚至會對人們用數學語言描述宇宙空間產生影響，對於一維與二維的情形，此猜想是對的，已經知道，它對於任何維數都是對的。
證明歷史
再次引起了人們的興趣。懷特海提出了一些有趣的三流形實例，其原型稱為懷特海流形。
1950和1960年代，又包括R·H·賓（R. H. Bing）、沃夫岡·哈肯、愛德華·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos聲稱得到了證明，但最終都發現證明存在致命缺陷。1961年，美國數學家史提芬·斯梅爾採用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。這段時間對於低維拓撲的發展非常重要。這個猜想逐漸以證明極難而知名，但是證明此猜想的工作增進了對三流形的理解。1981年美國數學家麥克·傅利曼在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈里·佩雷爾曼在arXiv.org發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。
在佩雷爾曼之後，先後有3組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛；以及理海大學的曹懷東和中山大學的朱熹平。
2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎，但佩雷爾曼拒絕接受該獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
2010年3月18日，克雷數學研究所對外公布，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼因為破解龐加萊猜想而榮膺千禧年大獎。
最終證明爭議
2006年6月3日，曹懷東和朱熹平公開聲稱佩雷爾曼對於龐加萊猜想證明中有漏洞，由他們補全，做出最終證明，於《亞洲數學期刊》發表論文。據報導，丘成桐曾表示曹懷東和朱熹平才是第一個給出了龐加萊猜想的完全證明。
2006年8月28日出版的《紐約客》雜誌發表西爾維亞·娜莎和大衛·格魯伯的長文《流形的命運——傳奇問題以及誰是破解者之爭》。該文介紹了佩雷爾曼等人的工作並描畫了“一個令人厭惡的丘成桐的形象，暗示他為他的學生曹懷東和他支持的朱熹平的工作宣傳了過多的功勞。”，因曹懷東與朱熹平的論文未經同行評審，丘成桐被質疑以期刊主編的身份，發表有利於他們研究團隊的論文成果。此文發表後，引發了很大爭議。丘成桐表示可能採取法律行動，由律師發出信函，要求雜誌更正，包括漢彌爾頓在內的多名數學家發表聲明表示文章沒有正確地反映他們對丘的評價。
一名加州理工學院的研究者指出曹、朱論文中引理7.1.2與克萊納和洛特2003年發表的成果幾乎完全相同。據此，洛特指責曹和朱兩人有剽竊的行為。此後，曹懷東和朱熹平在原刊發表糾錯聲明，確認了此引理是克萊納和洛特的成果，解釋沒有指明出處是由於編輯上的差錯，並為此向兩位原作者致歉。在12月發表的修正論文《龐加萊猜想與幾何化猜想的漢米爾頓－佩雷爾曼證明》（Hamilton-Perelman's Proof of the Poincare Conjecture and the Geometrization Conjecture）中，曹懷東與朱熹平不再宣稱是由他們做出最終證明，他們的工作只是對漢米爾頓－佩雷爾曼證明做出詳盡闡述。
