平行四邊形四邊對角線平方和定理，平行四邊形的四條邊的邊長的平方和等於對角線長的平方和。
基本介紹
- 中文名：平行四邊形四邊對角線平方和定理
- 表達式：AC + BD = 2AB + 2BC
- 適用領域：幾何
- 套用學科：數學
引證解釋
方法一：設平行四邊形ABCD，作DE⊥AB於E，CF⊥AB，交AB延長線於F
證明圖
∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形
∴ AB//DC，AB=DC，AD=BC
∴ DE = CF（平行線間的距離相等）
∴ Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)（兩個直角三角形完全相同）
∴ AE = BF
根據勾股定理
AC = AF+CF =（AB+BF）+ CF
BD = BE+DE =（AB-AE）+ DE =（AB-BF）+CF
AC + BD =（AB+BF） + CF +（AB-BF） +CF
= （AB + 2AB*BF + BF）+ CF +（AB - 2AB*BF + BF）+ CF= 2AB + 2BF + 2CF
∵ BF + CF = BC（勾股定理）
∴ AC + BD = 2AB + 2BC = AB + CD + BC + AD
利用餘弦定理.
在平行四邊形ABCD中,有：AB=DC、AD=BC、∠A=180°－∠B,∴cosA=－cosB.
由余弦定理,有：
AC=AB+BC-2AB×BC×cosB……①
BD=AD+AB-2AD×AB×cosA……②
①+②,得：AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
方法二：利用向量點積.
在平行四邊形ABCD中,有：
向量AC=向量AB+向量AD,向量BD=向量BA+向量BC=－向量AB+向量AD.
∴|AC|^2=|AB|^2+|AD|^2+2向量AB·向量AD,······③
|BD|^2=|AD|^2+|AB|^2－2向量AD·向量AB.······④
③+④,得：|AC|^2+|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2+|AD|^2+|AB|^2.
顯然有：AD=BC、AB=DC,∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
方法三：利用斯特瓦爾特定理
