平行四邊形性質定理

在同一個二維平面內，由兩組平行線段組成的閉合圖形，稱為平行四邊形，其邊與邊、角與角、對角線之間存在著各種各樣的關係，即是平行四邊形性質定理。

基本介紹

• 中文名：平行四邊形性質定理
• 外文名：Property theorem of parallelogram
• 領域：數學
• 套用：平面幾何

定義：

有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，包括長方形、菱形、正方形和一般平行四邊形，其邊與邊、角與角、對角線之間存在著各種各樣的關係，即是平行四邊形性質定理。

性質

1. 兩組對邊平行且相等；
2. 兩組對角大小相等；
3. 相鄰的兩個角互補；
4. 對角線互相平分；
5. 對於平面上任何一點，都存在一條能將平行四邊形平分為兩個面積相等圖形、並穿過該點的線；
6. 四邊邊長的平方和等於兩條對角線的平方和。

分類

矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形。

判定定理：

（1）定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

面積

公式一：

公式二：

公式三：

其中，γ是對角線夾角，B,C為兩條鄰邊。

圖1.圖中藍色區域為平行四邊形的面積

平行四邊形恆等式

平行四邊形恆等式是描述平行四邊形的幾何特性的一個恆等式。它等價於三角形的中線定理。在一般的賦范內積空間（也就是定義了長度和角度的空間）中，也有類似的結果。這個等式的最簡單的情形是在普通的平面上：一個平行四邊形的兩條對角線長度的平方和，等於它四邊長度的平方和。假設這個平行四邊形是寫作 的話，那么平行四邊形恆等式就可以寫成：

當平行四邊形是矩形的時候，由矩形的幾何特性可以知，這時兩條對角線是一樣長的。所以平行四邊形恆等式變為：

也就是直角三角形的勾股定理：

也就是說，平面上的平行四邊形恆等式可以看成是勾股定理的一種推廣。