彭賽列閉合定理

平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切其中一條圓錐曲線且內接另一條圓錐曲線，則此封閉多邊形內接的圓錐曲線上每一個點都是滿足這樣（切、接）性質的封閉多邊形的頂點，且所有滿足此性質的封閉多邊形的邊數相同。

最簡明的彭賽列閉合定理表示為：一個三角形外接於一個圓，內切一個圓，則外接圓可以有無數個內接三角形滿足其內切圓為上述的同一個。

彭賽列閉合定理展示了基於圓錐曲線關係上的一種“群結構”（group structure）關係——“彭賽列結構”（Poncelet type），表示為：有一個滿一種結構的關係存在，則所有都滿足這種結構的關係都存在，可以擴展為更為高維的概念，彭賽列閉合定理只是這種結構關係的其中一種。

基本介紹

• 中文名：彭賽列閉合定理
• 外文名：Poncelet's closure theorem；Poncelet Porisms
• 提出者：吉恩- 維克托·彭賽列（Jean-Victor Poncelet）
• 提出時間：1813年
• 適用領域範圍：射影幾何

簡介

1746年，英國數學家Chapple發現了這樣一個性質：設兩圓圓心距d，大圓半徑R，小圓半徑r，在滿足公示d²=R²—2Rr（即後來被熟知的平面幾何歐拉定理公式）時，以R為外接圓半徑，以r 為內切圓半徑的三角形有無窮多個，這是第一個已知的“彭賽列結構”。

1813年，拿破崙對俄戰爭後，彭賽列被囚禁在俄羅斯的薩拉托夫，並在監獄中發現了這樣一個里程碑級的射影性質，他的第一個證明是一個某種意義上分析式證明。

1822年彭賽列在其出版的“Traitédes propriétés projectives des figures”中給出了另一個純粹的幾何、綜合性的證明。

1828年，雅可比（Jacobi）對橢圓函式利用“積分定理”（addition theorem）完成了該定理的另一種證明，從本質上來說，“積分定理”等價於彭賽列定理，其均揭示了橢圓曲線中存在的一種“群結構”性質。

證明（部分）

當封閉多邊形邊數n=3時

△ABC內接一條圓錐曲線，內切一條圓錐曲線，△DEF外接於外錐線，其DE、DF與內錐線相切，則EF也與內錐線相切

n=3彭賽列閉合定理證明

證明：根據帕斯卡定理知EC∩BF∩MN=P（DE∩AB=M，DF∩AC=N），則觀察彩色凹六邊形EMBCNF，由布列安桑定理（逆）知EF與內錐線相切，得證。

當封閉多邊形邊數n=4時

四邊形ABCD外接一圓錐曲線，內切一圓錐曲線，則有四邊形A'B'C'D'同樣內接及外切這兩條圓錐曲線

n=4彭賽列閉合定理證明

證明：在異於題設所在平面的空間上取一投影點，將右圖（左上）中的AB、CD和AD、BC分別射影為一對平行線（右圖右上），則四邊形ABCD為平行四邊形，且根據對稱性知此時兩條圓錐曲線被射影為中心重合的形式，其中心為平行四邊形中心O，再將其外圓錐曲線仿射為圓（右圖下），因圓內接平行四邊形都為矩形，故利用蒙日圓性質知存在矩形A'B'C'D'滿足這樣的切接關係，逆射影回原題設，得證。

形式多樣的彭賽列閉合定理

雙曲線形式

擴展的五角星形式