阿波羅尼奧斯定理

在幾何學中，阿波羅尼奧斯定理(Apollonius theorem)是一個關於三角形邊長與中線長度關係的定理，它表示三角形兩邊平方的和，等於所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍。

基本介紹

• 中文名：阿波羅尼奧斯定理
• 外文名：Apollonius Theorem
• 領域：幾何學
• 套用：求中線與三角形三邊的關係
• 別稱：阿波羅尼斯定理

內容

在幾何形狀中，阿波羅尼奧斯定理表示三角形兩邊平方的和，等於所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍。具體來說，在任何三角形中，如果是中線，那么

這是一個特殊情況的斯圖爾特定理。對於的等腰三角形，的中線垂直於，定理簡化為三角形ADB（或三角形ADC）的畢達哥拉斯定理。從平行四邊形的對角線相互平分的事實來看，該定理等價於平行四邊形定律。

圖1.阿波羅尼奧斯定理

證明

該定理可以證明是斯圖爾特定理的一個特例，或者可以用向量證明。以下是使用餘弦定律證明。

圖2.Apollonius定理的證明

設三角形具有邊 ，其中線 被繪製到a側。設 是由中線分割 形成的線段長度，因此 是 的一半。設 和 之間形成的角度為 和 ，其中 包括 ， 包括 。那么 是 的補充， 。由餘弦定理可知：

根據這些方程式可得，，即得證。