斯圖爾特定理

在幾何學中，斯圖爾特定理(Stewart's theorem)給出了邊長和三角形中的cevian長度之間的關係，它的名字是為了紀念蘇格蘭數學家馬修斯圖爾特（Matthew Stewart），他在1746年發表了這個定理，與阿波羅尼奧斯定理相關。

基本介紹

• 中文名：斯圖爾特定理
• 外文名：Stewart's theorem
• 表達式：mb^2+nc^2=a(d^2+mn).
• 提出者：Matthew Stewart
• 提出時間：1746年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：平面幾何

發展簡史

在幾何學中，斯圖爾特定理表示了一個三角形中切氏線（cevian），連結一個頂點和對邊上任意一點的線段的長度和三角形三邊長的關係。它由蘇格蘭數學家Matthew Stewart在1746年發表，故得名。

定理內容

設 、 和 是三角形邊長， 表示邊長 的cevian長度，如果cevian劃分邊長 的長度為 和 ， 與 毗鄰， 與 毗鄰，然後斯圖爾特定理說明如下：

可以使用帶符號的線段長度更加對稱地寫出該定理。即，取長AB為正或負，根據 到 是向左或右來選取。在這個公式中，該定理指出，如果 ， 和 是共線點， 是任意點，那么

在特殊情況下，cevian是中位數（也就是說，它將相反的一側劃分為兩個相等長度的段），結果稱為阿波羅尼奧斯定理。

證明

該定理可以證明是餘弦定律的套用。

圖1.證明圖示

設 是 和 之間的角度， 是 和 之間的角度，然後 是 的補角，因此 ，根據角度在兩個小三角形餘弦定理 和 產生公式如下：

第一方程乘以 ，第二方程乘以 ，再相加添消除COSθ，可得到：

或者可以通過繪製從三角形頂點到基底的垂線來證明該定理，並使用畢達哥拉斯定理以高度來寫出距離 、 和 ，然後等式左側和右側的代數地減少到相同的表達式。

套用

本定理可以用於各種三角形內切氏線的求長，而無論其位置。取定理的特殊情況，即可輕易求出三角形的中線長、高線長、角平分線長。