帶積範疇(category with product)是環上模範疇、有限生成投射模範疇等重要範疇關於直和及(交換環的情況下)張量積性質的抽象與概括。
範疇是範疇論的基本概念之一。例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得群範疇Group，阿貝爾群範疇AG，環R上的左R模範疇RM等。
基本介紹
- 中文名：帶積範疇
- 外文名：category with product
- 領域：數學
- 學科：範疇論
- 對象：直和及張量積
- 性質：模範疇
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概念
帶積範疇(category with product)是環上模範疇、有限生成投射模範疇等重要範疇關於直和及(交換環的情況下)張量積性質的抽象與概括。設C為一個範疇，它有零對象0(即Hom(0，A)與Hom(A，0)都只有一個元素，A∈C)。若⊥：C×C→C為一個函子且滿足A⊥00⊥AA；A⊥BB⊥A；A⊥(B⊥C)(A⊥B)⊥C(這些同構都是自然的)，A，B，C∈C，則稱⊥為積函子，(C，⊥)稱為帶積範疇。例如，環R上模範疇對⊕是帶積範疇，R上的有限生成投射模範疇對⊕也是帶積範疇。當R可換時，它們關於(張量積)也是帶積範疇。R上的可逆模的同構類範疇Pic R關於也是帶積範疇。對帶積範疇C可與環上關於有限生成投射模範疇同樣地定義其K0群。即以〈A〉表A∈C的同構類，以{〈A〉|A∈C}為基得自由阿貝爾群F，記由一切〈A⊥B〉-〈A〉-〈B〉生成的子群為R。定義K0(C，⊥)=F/R。這種定義更具一般性且可用於其他學科如代數幾何、 纖維叢理論等。
範疇
範疇是範疇論的基本概念之一。稱C是一個範疇，是指C滿足下述六點：
1.C有一個對象類{A，B，C，…}(不要求它是一個集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對象)，常記為ObjC或簡記C。
2.對C的任兩對象A，B，有一個確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B。
3.對給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成。
4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D.。
5.態射合成滿足結合律。
6.對C的任意對象A，Hom(A，A)至少有一個元素εA使對σ∈Hom(A，B)恆有σεA=σ=εBσ，稱εA為A的恆等態射(εB為B的恆等態射).
例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇).以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得群範疇Group，阿貝爾群範疇AG，環R上的左R模範疇RM等。以自然數為對象，a|b(表示a整除b)時定義Hom(a，b)有惟一元素φab，ab時定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個範疇。一般地，對每個擬序集都可仿此定義範疇。
環
環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集
的全體構成的集類，則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。
模
模是一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模.這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算.任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射
μ： A→End(M)， a→aM.
特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模.由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM.類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件
4.1x=x (x∈M);
則稱M為酉模或麼模，以下設A模都是酉模。
模範疇
模範疇是一種重要的範疇。指所有以模和模之間的同態組成的範疇。利用範疇的觀點來討論模和環是一種重要方法。若A是環，則所有的左A模組成的類和所有左A模M，N之間的模同態HomA(M，N)，以及模的同態的乘法運算法則構成一個範疇，稱為左A模範疇，記為：A-Mod。
