布爾空間

布爾空間(Boolean space)是一種特殊的拓撲空間。拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。

基本介紹

• 中文名：布爾空間
• 外文名：Boolean space
• 領域：數學
• 性質：特殊的拓撲空間
• 意義：布爾代數和拓撲空間的聯繫
• 命名：英國數學家布爾

概念

布爾空間(Boolean space)是一種特殊的拓撲空間。如果拓撲空間X的所有閉開子集的集合clop X是X的拓撲的基，則說X是零維的。緊緻的並且零維的豪斯多夫空間稱為布爾空間。其特點是：

1.每一個有窮離散空間是布爾空間。

2.任何布爾空間族的乘積空間都是布爾空間。

3.布爾空間的每一個子空間是布爾空間。

可利用布爾空間這一概念研究布爾代數的結構，建立布爾代數和拓撲空間之間的聯繫。

拓撲空間

歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T₂拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。

豪斯多夫空間

在拓撲學和相關的數學分支中，豪斯多夫空間、分離空間或T₂ 空間是其中的點都“由鄰域分離”的拓撲空間。在眾多可施加在拓撲空間上的分離公理中，“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它蘊涵了序列、網和濾子的極限的唯一性。豪斯多夫得名於拓撲學的創立者之一費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓撲空間定義把豪斯多夫條件包括為公理。

假設 X 是拓撲空間。設x和y是X中的點。我們稱x和y可以“由鄰域分離”，如果存在 x 的鄰域 U和y的鄰域V使得U和V是不相交的 (U ∩ V = ∅)。X是豪斯多夫空間如果任何兩個X 的獨特的點可以由鄰域分離。這時的豪斯多夫空間也叫做T₂空間和分離空間的原因。

X 是預正則空間，如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做 R₁空間。

在這些條件之間的聯繫如下。拓撲空間是豪斯多夫空間，若且唯若它是預正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是說獨特的點是拓撲可區分的)。拓撲空間是預正則空間，若且唯若它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。

布爾代數

又稱“邏輯代數”，是英數學家、邏輯學家布爾(George Boole 1815-1864)所創立的一個代數系統。布爾認為，邏輯關係和某些數學運算甚為類似，代數系統可以有不同的解釋，把解釋推廣到邏輯領域，就可以構成一種思維的演算。他在其著作《邏輯的數學分析》(1847年)及《思維規律》(1854年)中引進了邏輯代數基本概念，構成了一個抽象代數系統。用這種系統可以較容易地處理傳統邏輯所不能處理的邏輯問題。布爾對他的代數系統給了四種解釋：一種是類演算，兩種是命題演算，一種是機率演算。

經過後來數學家的進一步改進，布爾代數成為如下的一個數學系統：設B是一個至少有兩個元素的集合，其中定義兩種運算：+(邏輯加法)。*(邏輯乘法)，B中元素對於這兩種運算，如果滿足下面公理：對任意的x，y，z∈B，

公理1：x+y=y+x;x*y=y*x;

公理2：x*(y+z)=(x*y)+(x*z);

x+(y*z)=(x+y)*(x+z);

公理3：B中有元素0和1滿足：

x+0=x;x*1=x;

公理4：對任意x∈B，有x′∈B，使

x+x′=1;x*x′=0;則稱B為一個布爾代數。

例如，令B={0，1}，讓1表示真命題，0表示假命題，定義+運算如下：

0+0=0;0+0=1;1+0=1;1+1=1;定義*運算如下：

0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1;

則它表示的就是一個命題代數系統。由於有1+1=1，它不同於一般的代數系統。

在布爾代數的基礎上，人們又發展了開關代數。開關代數在組合電路、電路網路中有極大的套用價值。

人物簡介——布爾

英國數學家、邏輯學家。由於套用代數方法研究邏輯問題形成邏輯代數，被認為數理邏輯奠基人。著有《邏輯的數學分析：論演繹推理的演算法》、《思維規律研究》等。布爾對微分方程和機率論等數學分支頗有研究，但他的主要貢獻是在邏輯方面，創立了邏輯代數。布爾在年輕時曾構想代數公式可用以表達邏輯關係。為此，他以實事求是的科學態度從事研究，力圖構造一種思維演算。他的指導思想是：邏輯關係與某些數學運算甚為相擬，代數系統可以有不同解釋，把解釋推廣到邏輯領域，就可以構成一種思維演算。根據這種思想，他構成了一種被現代數學或現代邏輯稱為布爾代數或邏輯代數的抽象代數系統。他給出的一種解釋是類演算。布爾當時所提出的演算還很不成熟。例如，演算的許多公式沒有邏輯解釋，邏輯加法要求兩類不相交，用一個不確定的類表示特稱命題，等等。儘管有這些缺點，布爾的貢獻還是偉大的，他在邏輯史上首先提出了一個邏輯演算，成為繼G·W·萊布尼茨之後的數理邏輯的又一創始人。以他命名的布爾代數現已發展為結構極為豐富的代數理論，並且無論在理論方面還是在實際套用方面都顯示出它的重要價值。