基本介紹
介紹,例子,範疇論定義,拓撲實現,
介紹
- 生成元儘可能的獨立,因為對從生成元使用F中運算形成的有限項成立的任何等式,也要對於所有可能的布爾代數的所有元素成立。
例子
- John 高且 Mary 富
- John 高且 Mary 不富
- John 不高且 Mary 富
- John 不高且 Mary 不富
布爾代數的其他元素接著是這些原子的邏輯析取,比如 "John 高且 Mary 不富,或者 John 不高且 Mary 富"。除此之外還有一個元素 FALSE,它不是原子的析取(儘管它可以被認為是空析取;就是說沒有原子的析取)。
這個例子產生了有 16 個元素的布爾代數;一般的說,對於有限的n,有n個生成元的自由布爾代數有 2個原子,因此有 個元素。
對於無限多個生成元,情況是非常相似的,除了沒有原子之外。布爾代數的所有元素都是有限多個生成命題的組合;兩個這種元素被認為是相同的如果它們是邏輯等價的。
範疇論定義
更加正式的使用範疇論的概念,在生成元集合S上自由布爾代數是一個有序對 (π,B),這裡有
- π:S→B是映射,
- B是布爾代數,
並且關於這個性質是通用的。這意味著對於任何布爾代數B1和映射 π1: S →B1,有一個唯一的同態f:B→B1使得
這個泛性質也可以公式化為叫做逗號範疇的初始性質。
“唯一”(在同構的意義下)是從這個泛性質立即得出的性質。注意映射 π 可以被證明是單射的。所以任何自由布爾代數B都這樣的性質,有一個B的子集S,叫做B的生成元集合,使得從S到布爾代數B1的任何映射唯一的擴展為從B到B1的同態。
拓撲實現
有κ個生成元的自由布爾代數,這裡的κ是有限或無限的基數,可以被實現為 {0,1}的閉開的子集的蒐集,給定乘積拓撲假定 {0,1} 有離散拓撲。對於每個α<κ,第α個生成元是其第α個坐標是 1 的 {0,1}的所有元素的集合。特別是,有 個生成元的自由布爾代數是康托爾空間的所有閉開子集的蒐集。另人驚奇的,這個蒐集是可數的。事實上,儘管有有限n個生成元的布爾代數,n有勢,帶有 個生成元的自由布爾代數有勢。
自由布爾代數的拓撲方式詳情請參見Stone布爾代數表示定理。