布洛赫定理

布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶態固體的導電性時首次提出的，但其數學基礎在歷史上卻曾由喬治·威廉·希爾（George William Hill，1877年），加斯東·弗洛凱（Gaston Floquet，1883年）和亞歷山大·李雅普諾夫（Alexander Lyapunov，1892年）等獨立地提出。

基本介紹

• 中文名：布洛赫定理
• 外文名：Bloch theorem
• 定理內容：周期性勢場
• 表述形式：布洛赫定理
• 物理意義：周期性勢場中電子運動的巨觀性質

定理內容

表述形式1

對於周期性勢場，即

其中 取布拉維格子的所有格矢，單電子薛丁格方程

的本徵函式是按布拉維格子周期性調幅的平面波，即

且

對 取布拉維格子的所有格矢成立。

表述形式2

從以上2式可以看出，布洛赫定理亦可表述為對上述薛丁格方程的每一本徵解，存在一波矢 ，使得

對屬於布拉維格子的所有格矢 成立。

布洛赫電子

遵從周期勢單電子薛丁格方程的電子，或用布洛赫波函式描述的電子稱為布洛赫電子（Bloch electron）。

物理意義

平面波波矢k（又稱“布洛赫波矢”，它與約化普朗克常數的乘積即為粒子的晶體動量）表征不同原胞間電子波函式的位相變化，其大小只在一個倒易點陣矢量之內才與波函式滿足一一對應關係，所以通常只考慮第一布里淵區內的波矢。對一個給定的波矢和勢場分布，電子運動的薛丁格方程具有一系列解，稱為電子的能帶，常用波函式的下標n 以區別。這些能帶的能量在k的各個單值區分界處存在有限大小的空隙，稱為能隙。在第一布里淵區中所有能量本徵態的集合構成了電子的能帶結構。在單電子近似的框架內，周期性勢場中電子運動的巨觀性質都可以根據能帶結構及相應的波函式計算出。

重要推論

上述結果的一個推論為：在確定的完整晶體結構中，布洛赫波矢k是一個守恆量（以倒易點陣矢量為模），即電子波的群速度為守恆量。換言之，在完整晶體中，電子運動可以不被格點散射地傳播（所以該模型又稱為近自由電子近似），晶態導體的電阻僅僅來自那些破壞了勢場周期性的晶體缺陷。

從薛丁格方程出發可以證明，哈密頓算符（Hamiltonian）與平移算符（translation）的作用次序滿足交換律，所以周期勢場中粒子的本徵波函式總是可以寫成布洛赫函式的形式。更廣義地說，本徵函式滿足的算符作用對稱關係是群論中表示理論的一個特例。

相關研究

信標技術歷經了自然信標、瑞利信標、鈉信標以及信標陣列的發展過程仍無法實現真正意義上的全天空覆蓋，而多色信標是大口徑地基自適應望遠鏡實現100%天空覆蓋率的有效手段之一。

但是現有的多色信標的仿真模型都存在著一定的不足，特別是對一級激發中間層鈉原子形成多色信標的仿真模型無法準確計算出多色信標的回波光子數。基於布洛赫方程的仿真模型，對一級激發中間層鈉原子形成多色信標回波光子數進行數值仿真，充分考慮都卜勒展寬、進出作用場、碰撞以及反衝作用的影響，並採用回光效率描述回波光子數的多少。

仿真結果表明，存在最優的雷射器線寬使得回光效率達到最大，若採用功率密度為10 W/m²的雷射器激發中間鈉層，最優線寬為18 MHz,最大330 nm回光效率為0.907 Photons/[s·sr·atom·(W/m²)]。

類似性質的概念在各個領域有著不同的名稱：常微分方程理論中稱為弗洛凱理論（也有人稱“李雅普諾夫-弗洛凱定理”）；一維周期性波動方程則有時被稱為希爾方程（Hill's equation）。