對數變換

如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等於N，即a^b=N，那么數b叫做以a為底N的對數，記作log_aN=b（其中a叫做對數的底數，N叫做真數），這就是對數變換。

基本介紹

• 中文名：對數變換
• 外文名：logarithm transformation
• 套用學科：數學、統計學
• 適用領域範圍：冪函式
• 注意：負數和零沒有對數
• 表達式：logan=b(a>0且a≠1)

概念

由定義知：

①負數和零沒有對數；

②a>0且a≠1,N>0；

③log_a1=0,log_aa=1,a^log_aN=N,log_a(a^b)=b。

特別地，以10為底的對數叫常用對數，記作log₁₀N,簡記為lgN；以無理數e(e=2.71828…)為底的對數叫做自然對數，記作log_eN，簡記為lnN。

對數式與指數式的互化式子：

指數式a^b=N（底數）（指數）（冪值）；

對數式log_aN=b（底數）（對數）（真數）。

運算性質

如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

(1) +

(2)

(3) =n (n∈R).

問：①公式中為什麼要加條件a>0,a≠1，M>0,N>0？

② =？(n∈R)

③對數式與指數式的比較

式子 ， =b名稱a—冪的底數

b—N—a—對數的底數

b—N—運算性質

其中(a>0且a≠1,M,N∈ )。

其中(a>0且a≠1,M,N∈ )。

難點

對數定義中，為什麼要規定a>0,，且a≠1?

理由如下：

①若a<0，則N的某些值不存在，例如log-28?

②若a=0，則N≠0時b不存在；N=0時b不惟一，可以為任何正數。

③若a=1時，則N≠1時b不存在；N=1時b也不惟一，可以為任何正數。

為了避免上述各種情況，所以規定對數式的底是一個不等於1的正數。

解題技巧

①轉化的思想是一個重要的數學思想，對數式與指數式有著密切的關係，在解決有關問題時，經常進行著兩種形式的相互轉化

②熟練套用公式：log_a1=0,log_aa=1,alog_aM=M,log_aaⁿ=n·3。

已知log_ax=4,log_ay=5，求A=x⁵y^-4 的值。

解析思路一，已知對數式的值，要求指數式的值，可將對數式轉化為指數式，再利用指數式的運算求值；思路二，對指數式的兩邊取同底的對數，再利用對數式的運算求值。

解法一∵log_ax=4,log_ay=5,
∴x=a⁴,y=a⁵,
∴A=x⁵y^-4=(a⁴)⁵(a⁵)^-4=a²⁰·a^-20=a⁰=1.

解法二：對所求指數式兩邊取以a為底的對數得

log_aA=log_a(x⁵y^-4)=5log_ax-4log_ay=5×4-4×5=0,

∴A=1.

有時對數運算比指數運算來得方便，因此以指數形式出現的式子，可利用取對數的方法，把指數運算轉化為對數運算。

在Excel中進行對數變換

求對數使用log函式，如圖1所示，在B2輸入公式=log(A2,10)，下拉即可，第二個參數10表示底數，可根據需要調整。

圖1 excel求對數