對數凸函式

對數凸函式

對數凸函式(logarithmic convex function)是取對數後為凸的函式,若ln f為區間I的凸函式,則稱f(x)為I上的對數凸函式,這等價於:f(x)>0,且對任意a,b∈I,λ∈(0,1),有f(λa+(1-λ)b)≤f(a)f(b)。由於不等式右端是乘積,故亦稱乘法凸函式。對數凸函式是凸函式,對數凸函式類對加法、乘法及取極限(若對數凸函式列的極限函式存在且是正的)是封閉的。類似於對數凸函式,容易得到對數凹、嚴格對數凸(凹)函式的概念,對數凸函式的概念可對複函數建立。Γ函式是對數凸函式。

基本介紹

  • 中文名:對數凸函式
  • 外文名:logarithmic convex function
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:數學分析(變數與函式)
  • 相關概念:凸函式,幾何凸函式等
定義,相關定理,

定義

如果函式
上是正的,且函式
上是凸(凹)的,則稱
上是對數凸(凹)函式

相關定理

定理1 (i)若稱
上是對數凸函式,則任取
,有
成立。
(ii) 若稱
上是對數凸函式,則任取
,有
成立。
(iii)
上二次可導,則
上是對數凸函式的充要條件為
上面結論利用凸函式的定義和性質是容易得到的;,若
為對數凹函式,則上幾式中的不等號反向。
定理2
是復值函式,並且在環域
內解析,
,由
定義,則
上是幾何凸函式。
定理3
是復值函式,並且在環域
內解析,
,由
定義,則
上是幾何凸函式。
定理4 (i)
上是對數凸函式,且
為遞增的,則
也是幾何凸函式。
(ii)
上是對數凹函式,且
為遞減的,則
也是幾何凹函式。

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