對數不等式是一種兩邊由對數構成的不等式。
基本介紹
- 中文名：對數不等式
- 外文名：Logarithmic inequality
- 解法：化同底比大小
- 數學類型：不等式
解法,化同底或換元法,含參數不等式的解法,技巧,例題,一,二,三,
解法
化同底或換元法
若logaf(x)1時，原不等式化為當0<a<1時，原不等式化為
．“分段函式型”不等式 若f(x)=
【解】f(x)>g(x)時，對x進行分段討論或用圖象法解．
含參數不等式的解法
(1)若f(a)x>b，需對f(a)>0，f(a)=0，f(a)<0進行討論．
(2)若f(a)x2+bx+c>0(<0)，則需分f(a)=0與f(a)≠0來討論．當f(a)≠0時，又需對判別式Δ分Δ>0，Δ=0和Δ<0來討論．在寫出不等式的解集時有時需通過比較兩根的大小來分類，最後確定出分類標準．
(3)若對數或指數的底數中含有參數a，有時需對a>1或0<a<1來討論．(4)有些較複雜的含參數的不等式中對參數的分類標準極難把握，往往是在解題過程中發現的．
技巧
在解高次不等式時，有些高次不等式因式分解後，可能會出現重因式，由於奇次重因式的符號與一次因式的符號一致，因此奇次重因式可以直接改寫為一次因式；如果是偶次重因式，則分偶次重因式等於0和大於0兩種情形討論．
例題
一
已知：a>0，函式f(x)=解不等式<1. [解答] ①當x≤0時，解<1，即解<1， 即>0，不等式恆成立，即x≤0；
②當x>0時，解<1，即解<1，即>0，因為a+2>2，所以x>a+2或x<2，即0<xa+2.
由①、②得原不等式的解集為{x|x<2，或x>a+2}．
[點評] 與分段函式有關的不等式問題，需要對每一段進行討論，做到不重不漏．近年高考對分段函式的考查逐漸升溫，從求值域到分段解析式到解分段函式的不等式等，這些問題都要引起我們的重視．
二
解不等式：(1)2x3－x2－15x>0；(2)(x+4)(x+5)2(2－x)3<0.
[解答] (1)原不等式可化為x(2x+5)(x－3)>0.由數軸標根法可得 ∴原不等式的解集為.(2)原不等式等價於(x+4)(x+5)2(x－2)3>0? 用數軸標根法可得 ∴原不等式的解集為
{x|x<－5，或－5<x2}．
三
解不等式：(x2－1)(x2－6x+8)≥0.
[解答] 由(x2－1)(x2－6x+8)≥0可得①或②
由①解得x≥4，或1≤x≤2，或x≤－1.由②得x∈， ∴原不等式的解集為{x|x≤－1，或1≤x≤2，或x≥4}．
[2010·長沙一中二模] 設函式f(x)=若f(x0)>1，則x0的取值範圍是( ) A．(0,2)(3，+∞) B．(3，+∞)C．(0,1)(2，+∞) D．(0,2) A [解析] 當x0≥2時，>1，解得x0>3；當x0<2時，2x0>1，解得0<x0<0f(x)·g(x)0，
(2x2－3x+1)(3x2－7x+2)>0.
或
x<或<x2.∴原不等式的解集為∪∪(2，+∞)． 解法二：原不等式等價於>0
(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0. 用序軸標根法，
∴原不等式的解集為∪∪(2，+∞)． 例5 解關於x的不等式：≥1.
[解答] 設t=，原不等式等價於≥1 ≥0?≤0?≤t<2 ?≤<2?－2.
[解答] 原不等式可以化為log2(2x－1)·[－1－log2(2x－1)]>－2， 令log2(2x－1)=t，
則t(－1－t)>－2，即(t+2)(t－1)<0，∴－2<t<x<log2(2x－1)<1.∴2－2<2x－1<2，得<2x2的解集為A，且3A. (1)求實數a的取值範圍； (2)求集合A. (2)>2?－2>0>0，
由(1)知a－2<0，所以>0<0. 又由－2=，
當0<a≤1時，>2，則集合A=
[解答] (1)3?A，當x=3時，≤2，即≤2， a≤1，故a的取值範圍是{a|a≤1}． 當a=0時，原不等式解集A為空集； 當a<0時，<2， 則集合A=.
綜上所述：當0<a≤1時，集合A=； 當a=0時，集合A為空集； 當a<0時，集合A =.
[點評] 本題中第(1)問是解不等式的逆向性問題，應理解不等式的解的意義. 第(2)問是含參分式不等式的解法，先要等價轉化為整式不等式，再就兩根與2的大小分三種情況討論． </t</x</x0</x
