完全機率空間 (complete probability space)是一種機率空間。如果機率空間的一切零機率集的子集均屬於集，就稱為一完全機率空間。
基本介紹
- 中文名：完全機率空間
- 外文名：complete probability space
- 領域：數學
- 學科：機率論
- 性質：機率空間
- 記號：(Ω，F，P)
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概念
完全機率空間(complete probability space)是一種機率空間。如果機率空間(Ω，F，P)的一切零機率集的子集均屬於F，就稱(Ω，F，P)為一完全機率空間。對任一機率空間(Ω，F，P)，若令F'={A△B：A∈F，B⊂N，N∈F且P(N)=0}；P'(A△B)=P(A)，A∈F，B⊂N，N∈F且P(N)=0，則(Ω，F'，P')為一完全機率空間，稱其為機率空間(Ω，F'，P)的完全化。
機率空間
機率空間是機率論的基礎。機率的嚴格定義基於這個概念。
機率空間(Ω, F, P)是一個總測度為1的測度空間（即P(Ω)=1）。第一項Ω是一個非空集合，有時稱作“樣本空間”。Ω 的集合元素稱作“樣本輸出”，可寫作ω。第二項F是樣本空間Ω的冪集的一個非空子集。F的集合元素稱為事件Σ。事件Σ是樣本空間Ω的子集。集合F必須是一個σ-代數：
若
，則
；
若
，則
(Ω,F)合起來稱為可測空間。事件就是樣本輸出的集合，在此集合上可定義其機率。
第三項P稱為機率，或者機率測度。這是一個從集合F到實數域R的函式，
。每個事件都被此函式賦予一個0和1之間的機率值。
機率
亦譯“或然率”、“幾率”。對一個事件的可能性的大小所作的數量方面的估計。在社會和自然界中，某一類事件在相同的條件下可能發生，也可能不發生，這類事件稱為“隨機事件”。不同的隨機事件發生的可能性大小是不相同的，機率就是人們用來表示隨機事件發生的可能性大小的一個量。機率的定義有多種：(1)古典定義：一個事件A出現的機率，是A可能出現的情況與全部可能情況的比率。(2)頻率定義：一個事件A出現的機率，等於A在若干次試驗中出現的頻率。
機率是客觀存在的統計規律在人們頭腦中的反映。作為數學的一門分科的機率論是系統研究機率的科學，而以機率論為工具研究歸納推理的理論就產生了機率邏輯。因此，機率是機率邏輯中的基本概念，與經驗的歸納方法不同，它是一種套用數學方法的歸納方法。機率邏輯是作為歸納邏輯的直接繼續而產生的。由於歸納邏輯得出的結論，以及假說演繹法的結論，都是或然性的，因而需要從量的方面估計某一結論的或然性，把數學中所制定的精確的機率方法引進邏輯。英國J. S.穆勒的《邏輯體系》一書的歸納部分就已有兩章討論機率。英國數學和邏輯學家布爾也提出了機率的邏輯解釋，提出考察關於事件的判斷的機率以代替事件本身的機率。1913年蘇聯數學家和邏輯學家柯爾莫哥洛夫提出了機率的公理化定義，對近幾十年機率理論的發展起了積極作用。以後，卡爾納普在他的歸納邏輯中強調機率的概念應分成兩種，即機率1和機率2。機率1是指機率的邏輯概念，機率2是指機率的統計概念。
機率論
機率論是研究隨機現象數量規律的一門科學，它起源於17世紀法國數學家帕斯卡和費馬之間的通信。當一群賭徒請教費馬在賭博時誰勝的可能性大時，他開始了稱之為古典概型的研究。
其後，隨著實踐及生產的發展，特別是在射擊理論、人壽保險、測量誤差工作中提出的機率問題，促使人們在機率論的極限理論方面進行了深入的研究。在18和19兩個世紀，極限理論成了機率論研究的主題。在大量的工作中以一批蘇聯學者如車比雪夫、馬爾可夫、李雅普諾夫的工作最為出色。馬爾可夫使用了所謂截尾術方法，而他師弟李雅普諾夫的特徵函式方法則使近200年沒有答案的中心極限定理在短短的幾頁紙上基本得到解決。
由蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫在1929年引進的機率論公理體系，奠定了機率論堅實的數學基礎，促進了機率論在理論及套用兩方面的發展。柯爾莫哥洛夫的工作標誌著近代機率論的誕生。
由於物理學、生物學、醫學以及工程技術的推動，機率論的理論課題不斷地擴大和深入，套用的領域也日益寬廣。機率論在近代物理、無線電與自動控制、工廠產品的質量控制、農業試驗、公用事業等方面都找到了重要套用。與此同時，機率論本身的研究則轉入以隨機過程為中心課題，諸如馬氏過程、平穩過程、鞅論等的研究，取得了許多理論上和套用上都有重要價值的結果。近年來，機率論和數學其他分支間的聯繫也日益加強，用機率論方法不僅可以解決偏微分方程，複變函數論中的一些問題，而且也能證明一些非常著名的結果，如阿提雅-辛格指標定理等。
