奇異攝動問題

奇異攝動問題是指數學上一個含有小參數的問題，但不能夠直接以把小參數設為零來求得所有近似解的問題。在描述奇異攝動問題的方程里，小參數作為係數出現在含有最高階次方或導數項里，如果按照常規攝動法把小參數設為零，將會導致方程降階從而不能得到所有的近似解。

基本介紹

• 中文名：奇異攝動問題
• 外文名：Singular perturbation
• 領域：數學

簡介

奇異攝動問題是指數學上一個含有小參數的問題，但不能夠直接以把小參數設為零來求得所有近似解的問題。在描述奇異攝動問題的方程里，小參數作為係數出現在含有最高階次方或導數項里，如果按照常規攝動法把小參數設為零，將會導致方程降階從而不能得到所有的近似解。奇異攝動的來源是這類問題里存在多個尺度。為了求得在每個尺度上的有效近似解，需要將方程用不同尺度規範化以得到新的方程。而新的方程則可以用常規攝動法來求近似解。奇異攝動方法開端於普朗特的邊界層理論。

解析方法

當一個被攝動的問題的解可以用一個漸近展開來作為問題的整個域上的無論是空間還是時間上的近似解時，這樣的情形被稱作常規攝動. 通常, 一個常規攝動問題的零階近似解是通過把小參數 ε 設零來求得。 這相當於只取漸近展開的第一項以求得相應的近似解。這個方法不能直接作為第一步來求解一個奇異攝動問題。如以下的例子所顯示，一個奇異攝動問題發生於當問題里的小參數出現在方程的含有最高階運算元的項的係數里†。因此如果幼稚地把小參數設零會改變問題的本質。對於微分方程，部分邊界條件將不能被滿足；對於代數方程，解的總數被減少了。

奇異攝動方法理論開端於普朗特的邊界層理論，是一個豐富的並持續發展的供數學、物理、及其它學科的工作者們探索的領域。現存的解決奇異攝動問題的方法有幾種。對於空間域上的問題，有匹配漸近展開法和WKB近似法；對於時間域上的問題，有龐加萊－林德斯泰特方法（Poincare-Lindstedt）、多尺度方法（multiple-scale）、和周期平均方法(periodic averaging)。

龐加萊－林德斯泰特方法

龐加萊－林德斯泰特方法（英語：Poincaré–Lindstedt method）是攝動理論中一種當正則攝動法失效時求解常微分方程的近似周期解的方法， 可以在弱非線性振動問題中消除正則攝動法中出現的長期項。

該方法是以數學家昂利·龐加萊與安德斯·林德斯泰特的名字命名的。

WKB近似

在量子力學里，WKB近似是一種半經典計算方法，可以用來解析薛丁格方程。喬治·伽莫夫使用這方法，首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函式，重新打造為一個指數函式。然後，半經典展開。再假設波幅或相位的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函式的近似解。

匹配漸近展開法

匹配漸近展開法（英語：method of matched asymptotic expansions）是數學中用於獲得方程或方程組高精度近似解的一種常用方法，尤其常用於奇異攝動微分方程的求解。

對於許多奇異攝動問題而言，可以將定義域分成兩個或多個部分。其中一部分（通常是範圍最大的部分）可以通過正則攝動理論獲得漸近展開級數解。然而這個解在其他較小的部分則十分不精確。如果這些部分處於定義域邊界上被稱為邊界層，處於定義域中間則稱為內層。可以將邊界層或內層內的求解問題當作一個獨立的攝動問題處理，以獲得相應的“內解”（之前通過正則攝動獲得的則稱為“外解”）。最後再將內解與外解通過“匹配”的辦法合併，以得到在整個定義域內都適用的近似解。