多項式不可分次數

多項式不可分次數是刻畫不可分多項式與相應可分多項式次數差異的一個數。

基本介紹

• 中文名：多項式的不可分次數
• 外文名：degree of inseparability of a polynomial
• 適用範圍：數理科學

簡介

多項式不可分次數是刻畫不可分多項式與相應可分多項式次數差異的一個數。

若 f(x) 是特徵為 p>0 的域 F上首 1 不可分的既約多項式，則必存在一個可分的不可約多項式 和非負整數 e，

此時稱 p^e 為 f(x) 的不可分次數，e 稱為 f(x) 的不可分指數，g(x) 的次數稱為 f(x) 的約化次數，若約化次數為m，則 f(x) 在某個代數閉包內恰有 m 個不同的根，且每個根的重數為 p^e，有等式：deg f(x)=約化次數 p^e。

當 f(x) 的次數與其不可分次數相等，即約化次數為1時，稱f(x)為純不可分多項式，這時 f(x) 具有形式

它在代數閉包內的根完全相同。

純不可分元

(purely inseparable element)

代數擴域中的一種特殊元。設域 F 的特徵 p>0，K/F 是代數擴張， 稱為 F 上的純不可分元是指 α 在 F 上的最小多項式為純不可分多項式；它等價於存在整數 e≥ 0，使得. 具有這種性質的最小整數 e，稱為 α 的純不可分指數。

對於代數擴張 K/F，K 中所有在 F 上為純不可分指數，對於代數擴張 K/F ， K 中所有在 F 上為純不可分元的元素全體是 K 的一個包含 F 的子域，這個子域稱為 F 在 K 中的純不可分閉包。