分次環論

分次環論(graded ring theory)環論的重要分支之一具有分次結構的環及模的理論.(群)分次環與分次模的歷史源遠流長，早在1854年，凱萊(A.Cay-ley)就引人了域K上的群代數K[G]，它是群G分次K代數.分次環的另一早期例子是(實)數域R上的多項式環R[二〕.

基本介紹

• 中文名：分次環論
• 外文名：graded ring theory
• 學科：數理科學
• 重要分支：環及模的理論

簡介

分次環與模最初發展的主要動力是交換代數幾何中的射影代數簇，並形成代數幾何研究中的基本方法之一自20世紀70年代以來，(群)分次環和模的發展進人了一個嶄新的時期，主要來自非交換代數幾何及群表示理論的推動.群分次環理論非常活躍且富有成果，在這一發展階段中代表人物有奧西塔因(F. Van.Oystaeyen)、納斯塔西庫(C.Nastasescu )、達第(E. C.Dade 、蒙哥馬利(S.Montgomery )、科恩(Cohen, M.)和帕斯曼(D. S.Passman)等.群分次環以其與眾多數學分支的密切聯繫而引起人們的極大興趣.

實例

例如:

1.相伴於濾子化環的Z分次環理論是李代數、代數幾何尤其是層理論、微分方程尤其是微分運算元環等理論研究中的有力工具。

2.非交換環的任意群分次的理論在群作用於環及不動點(環)、群表示理論尤其是穩定克利福德理論等發揮了重要的作用。

3.非交換環的有序群分次的理論及由此而產生的分次序理論是數論、代數表示論、非交換代數幾何、維數理論和環理論的一個重要的基本成分。

4一般群分次理論與霍普夫代數、馮·諾伊曼代數等理論有著深刻的聯繫。

值得一提的是，分次環的理論固然重要，而更重要的是分次環的研究方法，這一點可以從分次環的廣泛而富有意義的套用中看出。

第一個屬性

讓

成為一個分級的環。任何因素的元素 分解的被稱為同質元件的程度Ñ。每個元件一個的可以寫成的總和 與所有一個a_i不同的均勻的元件A_i。這一個_ai被稱為均一組分的a。

一些基本屬性是：

是A的一個子環;特別地，加法度量0和乘法式1是零度的齊次元素。

交換環形 環 是一個諾埃利亞環當然如果 是Noetherian，A是有限生成的代數 。

一個理想的 如果每一個元素都是同質的，其同質成分也屬於 （等價地，它們是A的分級子模組;參見§分級模組）。 與 被稱為均質部件的 。齊次理想是其均質部分的直接和。

如果我是A的同質理想，那么 也是一個分級的環，並已分解

分級模組

模組理論中的相應思想是一個分級模組，即分級環A上的左模組M也是這樣

和

例如：一個漸變向量空間是一個欄位上的漸變模組的示例（欄位具有平凡的分級）。

例如：分級環是一個分級模組。若且唯若它是分級子模組時，分級環中的理想是均勻的。分級模組的殲滅者是一個同質的理想。

例如：給定交換環R和R模組M的理想I， 是相關分級環上的分級模組 。

一種態度 在分級模組之間，稱為分級態射，是一種尊重分級的基本模組的態射；即 。甲分級子模組是一個輔助模組是在自己的權利的分級模組，並且使得集合論夾雜物是分級模組的態射。顯式地，分級模組N是M的分級子模組，若且唯若它是M的子模組並且滿足 。核心和漸變模組的態射圖像是分級的子模組。

備註：從漸變環到漸變環的漸變態，其圖像位於中心，這與將漸變代數的結構賦予後一個環相同。

由於分級模組M,時，ℓ的捻合 是由...定義的分級模組 。（參見塞爾的代數幾何中的扭曲捆）

設M和N為分級模組。如果 是模組的態射，然後˚F據說有度d是否 。微分幾何中的微分形式的外部導數是這樣的具有次數1的態射的例子。