基本介紹
- 中文名：基礎矩陣
- 外文名：Fundamental matrix
- 形式：3×3的矩陣
- 表達：立體像對的像點之間的對應關係
- 學科：計算機視覺
- 領域：計算機視覺
簡介,推導,
簡介
在計算機視覺中，基礎矩陣（Fundamental matrix）F是一個3×3的矩陣，表達了立體像對的像點之間的對應關係。在對極幾何中，對於立體像對中的一對同名點，它們的齊次化圖像坐標分別為p與 p'，
表示一條必定經過p'的直線（極線）。這意味著立體像對的所有同名點對都滿足：
基礎矩陣這一概念由Q. T. Luong在他那篇很有影響力的博士畢業論文中提出。Faugeras則是在1992年發表的著作中以上面的關係式給出了F矩陣的定義。儘管Longuet-Higgins提出的本質矩陣也滿足類似的關係式，但本質矩陣中並不蘊含相機檢校參數。本質矩陣與基礎矩陣之間的關係可由下式表達：
推導
基礎矩陣有許多種推導方式，下面介紹其中一種。
在雙相機的拍攝場景中建立一個空間直角坐標系，稱為世界坐標系（如圖1中藍色坐標系）。物點就是場景中物體表面上的點，比如說點P在世界坐標系中的坐標為
。
圖1.基礎矩陣推導
相機的光心從物理上講就是相機鏡頭組的光學中心。以光心為原點，主光軸為Z軸建立空間直角坐標系，稱為相機坐標系（如圖1中綠色和紅色坐標系）。像平面在相機坐標系中的方程即為z=f，像點就是在物點在像平面上的投影，這個投影關係是透視投影。
用一句話來概括相機的拍攝模型，就是物點、像點、光心三點一線，此模型稱為針孔相機模型。在此模型中，世界坐標繫到左右相機坐標系的變換是剛性變換，即只包含旋轉和平移，因此我們分別用增廣矩陣[R|t]和[R'|t']表示，其中R和R'是
的旋轉矩陣，t和t'為平移向量。令
為P的齊次化坐標，那么物點P在左右相機坐標系下的坐標分別為
。
以一台相機為例，如圖2所示，C為相機光心，Z軸為主軸。物點在相機坐標系下的坐標和以相片左下角為原點的像點坐標p有如下關係：
圖2.基礎矩陣
式中
為像主點在相機坐標系下的坐標。
設兩相機內參數矩陣同為：
那么物點與像點之間的關係為：
將
代入上式，並令
，得：
由於物點、像點、光心三點一線，那么物點、一對同名點和2個光心這5個點一定處於同一個平面上，我們將這個平面稱為𝜋平面。𝜋平面和像平面的交線稱為極線l'。顯然，左片上的每一個像點p對應於右片上的一條極線l'，且p'一定在l'上。兩個相機光心的連線與右片像平面的交點稱為極點，用e'表示。
在右片像平面內，極線 l'的方程可以表示為Ax+By+C=0。這個平面直線方程的一般式可以視為：
