《基於樣條函式的高精度數值方法研究》是依託浙江大學，由胡賢良擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於樣條函式的高精度數值方法研究
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：胡賢良
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
高精度數值算法是目前科學與工程計算中重要的研究課題之一，本項目基於多元樣條函式的分片表示形式，研究高精度數值算法的構造和實現。在結合間斷有限元與高階有限元各自優點的基礎上，我們發現利用多元樣條函式既可以滿足單元內部高精度數值表示的要求，也可以為在單元邊界上實現高精度的逼近帶來很大方便；利用樣條函式的另一個重要特點是能有效減少自由度消耗、提高數值方法的效率。這樣，我們不但保持了樣條函式天然高效的計算能力，也獲得了一類新穎的可比擬於間斷有限元方法的高精度數值方法。通過套用於Darcy-Stokes耦合模型和自由界面問題的數值模擬，有效地驗證了這類高精度數值算法的可靠性。此外，我們通過c++語言進行模組化程式設計，得到相應的數值算法的一個實現，以便能套用於更多模型問題的數值模擬和方便地進行並行化擴展。
結題摘要
本項目全部資助經費為22萬元人民幣，至項目結束尚結餘1.8163萬元人民幣，經費執行進度約為92%。在科研論文撰寫和科研人才培養兩方面取得了一些研究成果。本項目主要研究基於高階Bernstein多項式及其樣條表示下的高精度有限元方法，完成撰寫相關研究論文共4篇，其中2篇已經發表於SCI期刊，1篇完成一審並提交修改稿件，1篇已於日前完成並擬投稿。從可持續利用的技術成果方面來看，研究開發了高階有限元數值計算用的Matlab代碼，擬以此為基礎進一步開發可用於更大規模問題的有限元軟體包KissFEM。其次，在人才培養方面也完成了基本目標，逐步培養課題組研究的新力量。協助培養博士研究生畢業論文2人次，即本課題組成員中的最後兩位；此外項目負責人利用本課題資源招收在讀博士1名，研究生2名；此外，還利用課題相關的內容為本系研究生每學年開設為期六周的科學計算前沿介紹，主要講授有限元方法在科學計算中的套用。 本項目的研究使課題組成員都獲得了高階數值方法分析和計算實戰的有益經驗 。首先完成的是技術性基礎工作,即將Bernstein多項式表示的高階樣條有限元數值計算的代碼進行了更為合理的封裝。接著對幾類不同類型的偏微分方程模型進行仔細的數值計算。研究過程中得到了一些否定性結論也是有益的，而大部分肯定性結果已經整理成數篇研究論文，包涵了四個方面的研究成果：首先，提出了一類基於格線非協調剖分的高階有限元方法，在保證收斂階的前提下節省10%以上的自由度。為界面問題數值計算提供了一種重要途徑，在運算效率上有待於進一步的提高；其次，發展了一類高階有限元離散的多重空間加速疊代法及其理論估計，能從一定程度上緩解高階有限元計算開銷大的困難；第三，構造了一類求解固定界面問題的二階等參元方法，可實現帶間斷係數的橢圓邊值問題求解的二階精度； 最後，我們考察了一類用三次樣條表示的血管外形的形狀最佳化數值算法，這一方法不僅能減少流體問題數值計算的工作量，更重要的是可以得到一個用樣條函式表示的最最佳化血管形狀，結果好於傳統的高次多項式表示。
