《適定的多元樣條逼近方法研究》是依託大連理工大學,由李崇君擔任醒目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：適定的多元樣條逼近方法研究
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李崇君
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
樣條方法在數值逼近，計算幾何，微分方程數值解等領域有著重要的套用，然而，與相對完善的一元樣條理論相比，對一般剖分上的多元樣條，許多基本問題的研究都存在本質性的困難。當樣條空間的次數與光滑度接近時，空間的維數會出現奇異性，導致樣條逼近方法的嚴重不適定性，這是多元樣條理論中一個非常有挑戰性的問題，同時也限制了多元樣條方法的套用。我們前期的研究發現，適當增加剖分網點的度數，可以消除樣條空間的維數奇異性。在本項目中，我們將利用正則化方法研究一般剖分上的適定的多元樣條逼近方法。一方面，我們將深入開展樣條空間維數穩定性的研究，討論保持樣條空間維數穩定的剖分算法，以根據數據點構造自適應的格線剖分和基函式，形成適合於散亂數據擬合的多元樣條逼近方法。另一方面，針對由於樣條逼近方法出現的不適定性，我們將結合正則化方法，根據逼近問題選擇適當的正則項（罰項）和約束最佳化算法，構造數值穩定的多元樣條逼近算法。
結題摘要
樣條方法在數值逼近，計算幾何，微分方程數值解等領域有著重要的套用，然而，與相對完善的一元樣條理論相比，對一般剖分上的多元樣條，許多基本問題的研究都存在本質性的困難。當樣條空間的次數與光滑度接近時，空間的維數會出現奇異性，導致樣條逼近方法的嚴重不適定性，這是多元樣條理論中一個非常有挑戰性的問題，同時也限制了多元樣條方法的套用。本項目圍繞“適定的多元樣條逼近方法”開展研究工作。在樣條空間的維數及穩定性，適定的插值基函式，與正則化方法結合的適定樣條逼近方法，及其在計算幾何、微分方程數值解中的套用等進行了系統的研究工作，獲得了一系列的研究成果。主要研究內容包括：對T格線和一般三角格線上的幾類樣條空間的維數穩定性進行了深入的分析；構造了四邊形上適定的三次樣條Hermite插值基函式並套用於有限元計算；結合L1正則化方法提出了基於多層B樣條空間稀疏逼近的MLASSO模型，並討論了多個正則化參數的選取問題；將適定的樣條逼近方法套用於微分系統的曲線曲面擬合重構算法等。上述研究成果既包含了多元樣條方法的理論研究，也發展了相應的適定樣條逼近算法，並成功套用於有限元計算，計算幾何、微分方程數值解等，獲得了很好效果，達到了預期的研究目標。項目執行期間，在《SCIENCE CHINA Mathematics》，《Journal of Computational and Applied Mathematics》，《中國科學：數學》等高水平期刊共發表論文15篇，其中SCI檢索10篇，EI檢索7篇。培養已畢業3個博士研究生，7個碩士研究生。
