微分幾何中，埃雷斯曼聯絡（Ehresmann connection）是套用於任意纖維叢的聯絡概念的一個版本。特別的是，它可以是非線性的，因為一般的纖維叢上沒有合適的線性的概念。 一般情況下，它適用於主叢這一類特殊的纖維叢，通過聯絡形式表述，在這種情況聯絡至少是在一個李群的作用下等變。埃雷斯曼聯絡以法國數學家夏爾·埃雷斯曼命名，他第一次這種想法正式化。
基本介紹
- 中文名：埃雷斯曼聯絡
- 外文名：Ehresmann connection
- 分類：數理科學
簡介,纖維叢上的埃雷斯曼聯絡,曲率,水平提升,完備性,和樂群,
簡介
微分幾何中經典的協變導數是一個線性微分運算元，它以協變的方式取向量叢中截面的方嚮導數，也能用來闡述在 在特定向量方向上叢中截面為平行的概念：截面s沿著向量V平行，如果∇Vs= 0。所以一個協變導數提供了兩個觀念：微分運算元以及各個方向上的平行。埃雷斯曼聯絡完全放棄了微分運算元，並用截面在各個方向平行的含義來公理化一個聯絡。精確一點講，埃雷斯曼聯絡將纖維叢中的切叢的某些子空間指定為“水平空間”。如果ds(V)處於水平空間中，則截面s是在V方向上是水平的（也即平行的）。在這裡，我們把s視為從底空間M映射到向量叢E的函式s:M→E，且ds:TM→s*TE是向量的前推。水平空間組成TE的一個子向量叢。
如此一來直接的好處是它可以用於比向量叢一般得多的場合。特別是，它對於一般的纖維叢都是有定義的。而且，很多協變導數的特色得到了保留：平行移動，曲率和和樂。
然而此定義除了線性之外還失去了協變性。在經典協變導數中，協變性乃是導數的後驗特性。在構造過程中，要先指定“非協變”克氏記號的變換法則，才能給出符合協變的導數。對埃雷斯曼聯絡而言，可藉由引入作用在纖維叢里纖維上的李群，來強加一個推廣的協變原則。恰當的條件就是要求水平空間在某種意義下對應於群作用等變。
埃雷斯曼聯絡的點睛之筆是它可以表達為一個微分形式，和聯絡形式的情況類似。若一個群作用在纖維上，並且聯絡等變，則該形式也是等變的。而且，該聯絡形式也允許用曲率形式來定義曲率。
纖維叢上的埃雷斯曼聯絡
令π:E→M為纖維叢。E上的埃雷斯曼聯絡由如下數據組成：
- 對於每一點x∈E，給定E在x點的切空間向量子空間Hx⊂TxE。Hx稱為x點的水平空間。
- 隨著x的變化，Hx必須定義出一個E的切叢的光滑子叢。（特別是，H必須有常數維度。）
- 令V= ker(dπ:TE→TM)為由所有沿著E的纖維方向的切向量組成的鉛直叢。則Hx∩Vx= {0} 對於x∈E成立。
- 任何E的切向量必須可以分解為水平和鉛直分量:TE=H+V。（特別是，根據上面第3條，這是一個直和分解。）
用更加看似深奧的術語來講，滿足屬性1－4的這樣的一個對水平空間的設定，精確地對應於給定一個射叢JE→E的光滑截面。
等價的有，令Φ為到鉛直叢V的投影。這可以由上述TE到水平和鉛直分量的直和分解得到。則Φ滿足：
- Φ= Φ
- Φ:TE→V是一個叢的滿射。
反過來，若Φ是滿足1和2的向量叢映射，則H =kerΦ定義了上述的一個埃雷斯曼聯絡的結構。
曲率
令Φ為一埃雷斯曼聯絡。則Φ的曲率為
一個埃雷斯曼的曲率也滿足比安基恆等式（Bianchi identity）的一個擴展版本：
水平提升
埃雷斯曼聯絡也給出了將曲線從基流形M提升到纖維叢E的總空間並且使得曲線得切向量為水平向量的方式。這些水平提升是其它版本的聯絡表述中的平行移動的直接對應。
精確來講，設 γ(t) 為M中穿過點P= γ(0) 的光滑曲線。令e∈EP為P上的纖維中的一點。γ 穿過e的一個提升就是一條曲線
，它位於E中，提升是水平的，當曲線的每個切向量位於TE的水平子叢中：
完備性
埃雷斯曼聯絡允許曲線有局部水平提升。對於一個完備埃雷斯曼聯絡，曲線可以在整個定義域上水平提升。
和樂群
聯絡的平坦性局部對應於水平空間的弗羅貝尼烏斯可積性。在另一個極端，非零曲率表示了聯絡的和樂群的存在。
