基本介紹
- 中文名：鉛直叢
- 外文名：vertical bundle
- 屬性：數學術語
- 領域：數學
介紹,例子,
介紹
在數學微分幾何領域，一個光滑纖維叢的鉛直叢（vertical bundle）是切叢的一個子叢，由所有和纖維相切的向量組成。更具體地，如果 π:E→M 是一個光滑流形 M 上一個光滑纖維叢，設 e ∈ E 滿足 π(e)=x ∈ M，則在 e 處的鉛直空間（vertical space） VeE 是纖維 Ex 包含 e 的切空間 Te(Ex)。這就是， VeE = Te(Eπ(e))。從而鉛直空間是 TeE 的一個子空間，所有鉛直空間的並是 TE 的一個子叢 VE，這便是 E 的鉛直叢。
鉛直叢是微分 dπ:TE→π-1TM 的核，這裡 π-1TM 是拉回叢；用符號表示，VeE=ker(dπe)。因為 dπe 在每一點 e 是滿射，它得出了商叢 TE/VE 與拉回 π-1TM 的一個典範等價。
E 上一個埃雷斯曼聯絡是選取 VE 在 TE 中的一個補子叢，稱為這個聯絡的水平叢（horizontal bundle）。
例子
光滑纖維叢一個簡單的例子是兩個流形的笛卡兒積。考慮叢 B1 := (M × N, pr1) 帶有叢投影 pr1 : M × N → M : (x, y) → x。則鉛直叢便是 VB1 = M × TN，這是 T(M×N) 的一個子叢。如果我們取另一個投影 pr2 : M × N → N : (x, y) → y 來定義纖維叢 B2 := (M × N, pr2) 則鉛直叢將為 VB2 = TM × N。
在這兩種情形，乘積結構給出了水平叢的自然選取，導致一個埃雷斯曼聯絡：B1 的水平叢是 B2 的鉛直叢，反之亦然。
