埃爾米特插值公式

埃爾米特插值公式(Hermite interpolation formina )區域上解析函式的拉格朗日插值多項式的積分表示式。

不少實際的插值問題不但要求在節點上的函式值相等，而且還要求對應的導數值也相等，甚至要求高階導數也相等,滿足這種要求的插值多項式就是埃爾米特插值多項式。

基本介紹

• 中文名：埃爾米特插值公式
• 外文名：Hermite interpolation formina
• 學科：數理科學
• 別稱：埃爾米特(Hermite)插值

概述

埃爾米特插值是另一類插值問題，這類插值在給定的節點處，不但要求插值多項式的函式值與原函式值相同。同時還要求在節點處，插值多項式的一階直至指定階的導數值，也與被插函式的相應階導數值相等，這樣的插值稱為埃爾米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的節點，提出的差值條件個數可以不同，若在某節點 ，要求插值函式多項式的函式值，一階導數值，直至 階導數值均與被插函式的函式值相同及相應的導數值相等。我們稱 為 重插值點節，因此，Hermite插值應給出兩組數，一組為插值點 節點，另一組為相應的重數標號 。
若 ，這就說明了給出的插值條件有 個，為了保證插值多項式的存在唯一性，這時的Hermite插值多項式應在 上求得，於是可作如下定義。

定義

為 上充分光滑函式，對給定的插值定節，及相應的重數標號，時，若有滿足

則稱為關於節點及重數標號的Hermite插值多項式。

二重Hermite插值多項式

常用的Hermite插值為m_i=2 的情況，即給定的插值節點{x_i}_i=0均為二重節點，更具體些，，及插值節點{x_i}_i=0，若有 滿足

，就稱H_{2n+ 1}(x)為f(x) 關於節點{x_i}_i=0的二重Hermite插值多項式。

唯一性定理

f(x)關於節點{x_i}_i=0的二重Hermite插值多項式存在且唯一。

誤差定理

若，則為f(x)關於上節點{x_i}_i=0的二重Hermite插值多項式誤差為

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