圖的對稱性與曲面嵌入

《圖的對稱性與曲面嵌入》是依託北京交通大學，由周進鑫擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：圖的對稱性與曲面嵌入
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：周進鑫
• 依託單位：北京交通大學

項目摘要

圖的對稱性與圖在曲面上的嵌入是代數圖論和拓撲圖論中的重要研究分支。該方面研究不僅與其它數學分支如群論、複分析、幾何學等緊密相關，而且在信息科學、分子生物學、密碼學及網際網路等科學領域中也有著廣泛的套用，因而其研究有著重要的理論意義和實際套用價值。本項目將致力於以下方面的研究：1.利用有限群論、組合的方法及代數拓撲中的正則覆蓋理論，在前人工作的基礎上，進一步開展給定度數的高對稱性圖，如弧傳遞圖、半弧傳遞圖的分類工作。2.研究弧傳遞圖在可定向閉曲面上的正則嵌入。圖的正則嵌入也稱為正則地圖。擬利用有限群理論、商圖理論及正則地圖的代數表示理論研究給定群的正則凱萊地圖以及給定圖類的正則地圖的分類，並研究它們的虧格和可反射性等重要性質。3.圖在可定向閉曲面上的2-胞腔嵌入，亦稱為地圖。擬研究給定圖類的地圖和可反射地圖的同構類的計數，並探索給定圖類的地圖同構類的虧格分布的一般方法。

結題摘要

本項目主要開展了以下幾方面的研究:1. 圖的對稱性研究是代數圖論的主要研究內容之一。 利用有限群理論，結合拓撲、組合和圖論方法， 研究了弧傳遞圖、邊傳遞圖、頂點傳遞圖等高對稱性圖的構造與分類，取得了一系列成果。在該方面共發表SCI檢索論文12篇。 2. 正則地圖的構造與分類是拓撲圖論中的重要課題之一。利用有限群理論、商圖理論及正規Cayley 圖理論，完成了4p 階對稱圖的可定向地圖的完全分類。值得注意的是關於4p 階對稱圖的分類工作是一個長期懸而未決的公開問題。此外，將Mull 等人關於地圖同構類的計數方法推廣到允許有自環和重邊的圖類，並首次研究了可反射地圖同構類的計數問題。在正則地圖與地圖同計數方面，共發表SCI檢索論文3 篇（其中一篇的電子版已發表）。 3. 在網路可靠性方面,首先否定地回答了該方面的一個公開問題，即k正則（k≥3）的哈密爾頓圖是否一定是超限制性邊連通的？其次，比較系統地研究了正則網路的圈邊連通性。 特別地，決定了非圈優的正則邊傳遞圖，分類了圈優但非超圈連通的正則邊傳遞圖。作為套用，否定了該方面一個猜想：即不存在非超圈連通的正則邊傳遞圖。另外，還決定了交錯群網路的3限制邊連通度，並決定了交錯群圖網路的條件可診斷性。在該方面共發表SCI檢索論文3篇(其中一篇的電子版已發表)。