圖的嵌入分布若干問題的研究

《圖的嵌入分布若干問題的研究》是依託湖南大學，由陳儀朝擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：圖的嵌入分布若干問題的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：陳儀朝
• 依託單位：湖南大學

中文摘要

利用計算機，驗證低階圖的嵌入分布單峰性猜想，同時結合根地圖計數理論,系統研究三正則圖的嵌入分布單峰性猜想。運用覆蓋矩陣理論，聯樹嵌入理論等計算若干圖類的嵌入分布。藉助多項式理論與方法探討環束等圖類的嵌入多項式的根的分布。推廣不可定向置換類，研究Dan Archdeacon猜想。討論任意圖平均虧格的下界的同時，研究已有圖類的單峰點跟平均虧格的關係。這不僅直接關係到拓撲圖論發展, 還將有力地促進曲面拓撲學，組合數學,及代數學的發展。

結題摘要

本項目自立項以來，申請人按照項目的研究計畫展開了研究，取得了下述成果。 一、對圖的嵌入分布理論的研究： 1. 證明了嵌入分布的結構性定理：劈分定理，利用劈分定理解決了嵌入分布計算領域中長期困擾本方向的一些小直徑圖的嵌入分布問題。 2. 發展了新的研究途徑計算圖的不可定向嵌入分布，首次獲得了經典圖類如梯圖、圈梯圖、Mobius 梯圖等重要圖類的不可定向嵌入分布顯式。並進一步地獲得到了更一般的三正則圖的嵌入分布如三正則外平面圖、3 正則Halin 圖等的嵌入分布。 二、對圖的平均虧格的研究： 1. 基於聯樹嵌入表示理論及覆蓋矩陣表示理論給出了一種研究圖的平均虧格下界的組合方法，採用嵌入劈分定理，對於不含有三種結構的禁用構型，採用拓撲加邊方法與R-W 方法相結合的方案，推導出了不含有三種結構圖的平均虧格以圖的貝蒂數為的線性下界。 2. 系統地刻畫了圖的平均虧格少於一個固定常數C 的結構問題. 三、對低階圖驗證了著名的嵌入分布單峰猜，並討論了單峰點與平均虧格的關係。 四、對一些公開問題的解答： 1. 利用嵌入圖的“Gustin 表示”、覆蓋矩陣理論、嵌入劈分定理及對稱性構造出了無限多類不同構的3 連通簡單圖與k 邊連通圖而擁有相同的嵌入分布。這給出了美國Amherst 學院L. McGeoch 教授在其1987 年的博士論文第38頁中的公開問題3 的肯定問答。 2. Snark 圖是一類圍長至少為5 的無3 邊著色的圈4 邊連通圖。 著名拓撲圖理論學者B. Mohar 在國際知 名學術刊物Combin. Prob. & Comp. 上提出了如下一個公開問題：是否存在一個snark 圖在Klein 瓶上有多邊形嵌入。通過引入點積等運算，我們成功地構造了一系列圖符合Mohar 的問題。我們的結果表明對任意的整數k，均存在一個Snark 圖在任意虧格為k 的不可定向曲面均存在多邊形嵌入。 3. 伽瑪函式是常見於組合數學及機率論,統計學等中的一類重要特殊函式。我們通過研究小直徑圖嵌入分布，已知結果表明，它們漸近於與第一類Stirling 數，而它們與伽瑪函、置換群特徵標等密切相關。為此我們附帶地回答了F. Qi 等在國際學術刊物Math. Ineq.& Appl.上的一個公開問題。