固有映射

設X和Y是拓撲空間,f:X→Y是映射。若對於Y中任意的緊集C,f(C)是X中的緊集,則稱映射f是固有的。

基本介紹

  • 中文名:固有映射
  • 外文名:proper mapping
  • 適用範圍:數理科學
簡介,判定,度量空間,巴拿赫空間,緊集,

簡介

固有映射是指緊集的原像是緊集的映射。
設X和Y是拓撲空間,f:X→Y是映射。若對於Y中任意的緊集C,f(C)是X中的緊集,則稱映射f是固有的。

判定

度量空間

當X和Y為度量空間時,映射f:X→Y為固有映射的充分必要條件是:f是閉映射(映閉集為閉集)且Y中每點的原像是X中的緊集。

巴拿赫空間

當X和Y是巴拿赫空間時,連續線性運算元A:X→Y為固有映射的充分必要條件是:A為單射且A的像空間ImA是閉的。
賦范線性空間中閉集上的緊連續場,特別地有界閉集上的全連續場,是固有的。
設X和Y是道路連通的度量空間,f:X→Y是局部同胚,那么f是固有映射=f是閉映射⇔f是有限層覆蓋映射。
設X和Y是道路連通的度量空間,且Y單連通,那么f:X→Y是同胚⇔f是局部同胚且固有=f是局部同胚的閉映射

緊集

如果一個集合
包含在某個球內,也即存在
使得
,那么該集合是有界的(bounded)。
有界的定義可以用某個固定的球心
表述,因為如果一個集合包含在球
中,那么它也包含在球
中。我們通常設定
來討論有界性。
如果
是有界的閉集,那么S是緊集

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