凝聚映射

設X,Y為完備度量空間,f:X→Y連續有界,ψx與ψγ分別為X與Y上的非緊性測度。若對於X中每個有界的非相對緊集A,均有ψγ(f(A))<ψγ(A),則稱f為(ψxγ)凝聚映射。

基本介紹

  • 中文名:凝聚映射
  • 外文名:condensing mapping
  • 適用範圍:數理科學
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簡介

集壓縮映射

集壓縮映射是在集合的非緊性測度意義下壓縮的映射。
設X,Y為完備度量空間,f:X→Y連續有界,ψx與ψγ分別為X與Y上的非緊性測度。若有非負常數k,使得對於X中每個有界集A,有ψγ(f(A))< kψx(A),則稱f為k集壓縮的,或更明確地,稱f為k(ψxγ)壓縮的。
當k<1時,稱f為嚴格集壓縮的,也常簡稱集壓縮的。

定義

若對於X中每個有界的非相對緊集A,均有ψγ(f(A))<ψγ(A),則稱f為(ψxγ)凝聚映射。

性質

(嚴格)集壓縮映射必是凝聚的。f是全連續映射,若且唯若f是0集壓縮的。常取非緊性測度為集-非緊性測度或球-非緊性測度。這時,巴拿赫k壓縮映射是k集壓縮的,非擴張映射是1-集壓縮的,但嚴格非擴張映射不一定是凝聚的。
若Vx∈X,存在x的鄰域U,使得
為k集壓縮(相應地,凝聚),則稱f在X上為局部k集壓縮(相應地,局部凝聚)映射。設X為巴拿赫空間,D為X中的閉集。若f:D→X為k集壓縮(或凝聚)映射,則I-f稱為D上的k集壓縮向量場(或凝聚向量場)。有界閉集D上的凝聚向量場是固有的。
可微的k集壓縮映射在每點的導運算元是k集壓縮線性運算元。

非緊性測度

非緊性測度是抽象空間微分方程理論的基本概念。
設X是巴拿赫空間,𝒵是X的有界子集族。
豪斯多夫非緊性測度β:𝒵→R定義為:β(B)=inf{ε>0|B能夠用有限個半徑為ε的球覆蓋},B∈𝒵。
庫拉托夫斯基非緊性測度α:𝒵→R定義為:α(B)=inf{d>0|B能夠用有限個直徑≤d的集合覆蓋},B∈𝒵。

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