凝聚映射

簡介

集壓縮映射是在集合的非緊性測度意義下壓縮的映射。

設X,Y為完備度量空間，f:X→Y連續有界，ψ_x與ψ_γ分別為X與Y上的非緊性測度。若有非負常數k，使得對於X中每個有界集A，有ψ_γ(f(A))< kψ_x(A)，則稱f為k集壓縮的，或更明確地，稱f為k(ψ_x,ψ_γ)壓縮的。

當k<1時，稱f為嚴格集壓縮的，也常簡稱集壓縮的。

若對於X中每個有界的非相對緊集A，均有ψ_γ(f(A))<ψ_γ(A)，則稱f為(ψ_x,ψ_γ)凝聚映射。

（嚴格）集壓縮映射必是凝聚的。f是全連續映射，若且唯若f是0集壓縮的。常取非緊性測度為集-非緊性測度或球-非緊性測度。這時，巴拿赫k壓縮映射是k集壓縮的，非擴張映射是1-集壓縮的，但嚴格非擴張映射不一定是凝聚的。

若Vx∈X，存在x的鄰域U，使得

為k集壓縮（相應地，凝聚），則稱f在X上為局部k集壓縮（相應地，局部凝聚）映射。設X為巴拿赫空間，D為X中的閉集。若f:D→X為k集壓縮（或凝聚）映射，則I-f稱為D上的k集壓縮向量場（或凝聚向量場）。有界閉集D上的凝聚向量場是固有的。

可微的k集壓縮映射在每點的導運算元是k集壓縮線性運算元。

非緊性測度是抽象空間微分方程理論的基本概念。

設X是巴拿赫空間，𝒵是X的有界子集族。

豪斯多夫非緊性測度β:𝒵→R定義為：β(B)=inf{ε>0|B能夠用有限個半徑為ε的球覆蓋}，B∈𝒵。

庫拉托夫斯基非緊性測度α:𝒵→R定義為：α(B)=inf{d>0|B能夠用有限個直徑≤d的集合覆蓋}，B∈𝒵。