嚴格凸函式

嚴格凸函式是一個定義在某個向量空間的凸子集C上的一類實值函式。若對於凸子集C中任意兩個向量p,q, 滿足f((p+q)/2)>(f(p)+f(q))/2, 則稱f(x)是定義在凸子集C中的嚴格凸函式。

定義

嚴格凸函式是定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函式 (x) ，而且對於凸子集C中任意兩個向量p,q， 滿足

則稱 是定義在凸子集C中的嚴格凸函式。容易證明，其定義等價於若 滿足

對任意兩個向量p,q成立。特別地，若這裡凸集C即某個區間 I ，那么就是：設 為定義在區間 I 上的函式，若對 I 上的任意兩點 和 ，有

成立，則稱 是定義在區間I 中的嚴格凸函式。

在上面的定義中，若將小於號改變小於等於，則上面的函式稱之為凸函式。

判別方法

引理

為 I上的凸函式的充要條件是：對於I的任意三點 ，總有

證明：

必要性：

設 ，則有 ，由凸性的定義代入，從而有

整理後即可得到。

充分性：

在I上任取兩點 ，在 上任取一點 ，由必要性的推導逆過程，可證得

故為I上的凸函式。證畢。

推論1

為 I上的函式，下列條件等價：

1） 為 I上的凸函式的。

2） 為I上的增函式。

3） 對I上的任意兩點 ，有

推論2

對於實數集上的凸函式，如果其二階導數在區間上非負，就稱為凸函式。如果其二階導數在區間上恆大於0，就稱為嚴格凸函式。

嚴格凸函式的性質

1）一元可微函式在某個區間上是嚴格凸的，若且唯若它的導數在該區間上嚴格單調增。

2）一元連續可微函式在區間上是嚴格凸的，若且唯若函式位於所有它的切線的上方：對於區間內的所有x和y，都有 。特別地，如果 ，那么c是 的最小值。

3）一元二階可微的函式在區間上是嚴格凸的，若且唯若它的二階導數是正的；這可以用來判斷某個函式是不是嚴格凸函式，但反過來不成立。更一般地，多元二次可微的連續函式在凸集上是嚴格凸的，若且唯若它的黑塞矩陣在凸集的內部是嚴格正定的。

4）嚴格凸函式的任何極小值也是最小值。嚴格凸函式最多有一個最小值。

5）對於嚴格凸函式 ，水平子集 和 是嚴格凸集。

6）延森不等式對嚴格凸函式 f 都成立。

7）如果 和 是嚴格凸函式，那么 和 也是嚴格凸函式。

8） 如果 和 是嚴格凸函式，且 遞增，那么 是嚴格凸函式。

9） 凸性在仿射映射下不變：也就是說，如果 是凸函式，那么 也是凸函式。

等等性質。

注

某些教材的凸函式定義與此定義相反，即凸函式與凹函式相反。如北京大學版本和中山大學的數學教材。