半線性映射

概念

半線性映射是線性映射概念的推廣。設V與V′分別是域P與P′上的線性空間，ρ為P與P′的同構，若V與V′的映射φ滿足條件：

1.對任意α，β∈V有φ(α+β)=φ(α)+φ(β);

2.對任意α∈V，a∈P有φ(aα)=aφ(α);

則稱φ為關於ρ的半線性映射，其中a表示ρ(a)。當V=V′，P=P′時，φ稱為半線性變換。當P=P′且ρ是恆等同構時，φ就是線性映射。

線性空間亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。

線性映射亦稱同態或線性同態。線性代數的中心內容和基本概念之一。是同一域上兩個線性空間V與W之間具有線性性質的映射，即V到W的映射φ，若對任意α，β∈V，k∈P，滿足條件：

1.φ(α+β)=φ(α)+φ(β);

2.φ(kα)=kφ(α);

則稱φ為V到W的線性映射，或稱為線性運算元。把V中每一元素映射成W中零元素的映射是線性映射，稱為零映射。若φ是雙射，則稱φ為V與W的線性同構，同時稱φ為線性空間的同構映射。建立了線性同構的兩個線性空間，稱為同構的線性空間。當W=P時，V到P的線性映射也稱為線性函式。

域P上線性空間V到W的全體線性映射的集合，記為Hom_P(V，W)。在Hom_P(V，W)中可以引入加法與純量乘法，若對任意的φ，ψ∈Hom_P(V，W)，任意α∈V，k∈P，規定：

φ+ψ： (φ+ψ)(α)=φ(α)+ψ(α)，

kφ： (kφ)(α)=kφ(α)，

則Hom_P(V，W)構成域P上的線性空間。

線性空間亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：

1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。

2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。

3.加法與純量乘法滿足以下條件：

1) α+β=β+α，對任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.

3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.

4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.

5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).

6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，