半極差

半極差（Mid-range）是中點範圍，而中點是數據集中最大值和最小值的算術平均值，即半極差是表示集中趨勢的一種度量。由於缺乏效率，實際統計分析很少使用半極差。

基本介紹

• 中文名：半極差
• 外文名：Mid-range
• 學科：統計學
• 套用：統計分析

簡介

在統計中，一組統計數據值的中點或中間極值是數據集中最大值和最小值的算術平均值，定義如下：

而半極差是中點範圍;因此，它是集中趨勢的一種度量。

作為大多數利益分布的估計，半極差由於缺乏效率，實際統計分析很少使用中等範圍。其次，由於忽略了所有中間點，異常值會顯著改變它，因而缺乏穩健性。事實上，它是效率最低和最不穩健的統計數據之一。

然而，它在一些特殊情況下有一定用處：它是均勻分布中心的最高效估計器，修正了中等範圍的地址魯棒性，並且作為L估計器，它很容易理解和計算。

屬性

穩健性

半極差對異常值非常敏感，並忽略除兩個數據點外的所有數據。因此，它是一個非常不穩健的統計數據，其故障點為0，這意味著單個觀察可以任意改變它。此外，它受異常值的影響很大：增加樣本最大值或減少樣本最小值 將改變半極差 ，同時僅改變也具有分解點0的樣本均值 。因此在實際統計中幾乎沒有用處，除非已經處理了異常值。

這些調整後的半極差作為描述性統計或中心位置或偏斜的L估計值而受到關注。

效率

儘管存在缺點，但在某些情況下它是有用的：對給定一個足夠的低闊峰分布的小樣本，半極差是μ的一個高效估計量。但它對於中間分布（例如法線）是低效的。

例如，對於具有未知最大值和最小值的連續均勻分布，半極差是均值的最小方差無偏估計量，即平均值的無偏和充分估計，實際上是最小方差無偏估計：使用樣本均值僅基於該範圍內的無信息分布點添加噪聲。

小樣本

對於小的樣品量（ 從4至20）從足夠低闊峰分布中抽取（負過量峰度，其定義為 ，半極差是一種有效的估計平均 。下表總結了比較不同峰度分布均值的三個估計量的經驗數據;所述改性平均是截短的平均值，其中，所述最大值和最小值被消除。

採樣屬性

對於服從標準常態分配大小為 的樣本，半極差 是無偏的，並且具有由下式給出的偏差：

對於標準拉普拉斯分布的大小為的樣本，半極差 是無偏的，並且具有由下式給出的方差：

而且隨著樣本量的增長，方差不會降低到零。

對於從零中心均勻分布的大小為 的樣本，中等範圍 是無偏的， 具有漸近分布，這是拉普拉斯分布。

偏差

雖然一組值的平均值最小化偏差的平方和，並且中值最小化平均絕對偏差，但中間範圍最小化最大偏差（定義為 ）：它是一個變分問題的解決方案。