具有某種對稱性的圖的研究

《具有某種對稱性的圖的研究》是依託河南師範大學，由化小會擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：具有某種對稱性的圖的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：化小會
• 依託單位：河南師範大學

項目摘要

具有對稱性的圖的組合結構具有很多理論意義和實際意義。在理論上，這些圖的組合結構不但與幾何、代數、組合數學的許多基本問題存在著密切的聯繫，而且它們本身也有著很深刻的數學問題。在實際套用中，它們與編碼、密碼、計算機網路、計算機安全等有著緊密的聯繫。本項目主要研究具有對稱圖和半對稱圖的分類或性質。具體地，主要研究:（1）給定階的素數度對稱圖的分類或刻畫；（2）是否存在(G,2)-弧傳遞二部圖，其中G是圖自同構群的子群且作用在點集上是雙擬本原的，但其固定兩部的指數是2 的子群作用在兩部上都不是擬本原的；（3）具有某種特性的點本原和點雙本原2-弧傳遞圖的分類和計數；（4）給出無平方因子階的素數度半對稱圖的分類或刻畫。 這些研究的目的在於對對稱性較高的圖的理論的研究。事實上,這也是對對稱性較高的圖的套用的研究，特別地，是對與計算機網路套用有關問題的研究。

結題摘要

本項目主要是研究群論在圖論中的套用，取得了一系列創新成果。在對稱圖方面，我們從階數和度數兩方面進行了推廣。主要研究了2pqr階5度對稱圖，2pq階和4pq階7度對稱圖，給出了這三類圖的分類和同構計數，同時決定了他們的自同構群。需要特別指出的是，2pqr階5度對稱圖，雖然在階數方面只是比2pq階多了一個素因子，但得出的圖卻要多出許多，有20個零散的關於某個單群的陪集圖，還有關於線性群上的兩類陪集圖和一類二面體群上的1-正則Cayley圖。在研究的過程中，我們又得到了6度對稱圖和7度對稱圖的點穩定化子的結構。眾所周知，圖的自同構群的點穩定化子在決定圖的自同構群方面起到了至關重要的作用，因此這為我們繼續進行相關研究打下了良好的基礎。在本原圖和雙本原圖的研究方面，我們主要研究了二維線性群上的2-弧傳遞本原圖和雙本原圖，根據研究的需要，我們同時把凱萊圖的兩個重要結論推廣到了陪集圖上，並由此得到了這類圖的CI性。因為所有的點傳遞圖都是一個陪集圖，所以這兩個推廣為以後的研究提供了很好的工具。在半對稱圖方面，我們給出了2qp^t(t≥2)階3度半對稱圖存在的充要條件，並致力於把它推廣到5度或素數度半對稱圖上。