偏微分方程數值解

偏微分方程數值解

通過數值計算方法,在計算機上對偏微分方程的近似求解。科學和工程中的大多數實際問題都歸結為偏微分方程的定解問題,由於很難求得這些定解問題的解析解(在經典意義下甚至沒有解),人們轉向求解它們的數值近似解。

基本介紹

  • 中文名:偏微分方程數值解
  • 外文名:numerical solution of partialdfferential equations
  • 適用範圍:數理科學
簡介,求解效率,套用,

簡介

通過數值計算方法,在計算機上對偏微分方程的近似求解。科學和工程中的大多數實際問題都歸結為偏微分方程的定解問題,由於很難求得這些定解問題的解析解(在經典意義下甚至沒有解),人們轉向求解它們的數值近似解。通常先對問題的求解區域進行格線剖分,然後基於有限元法、有限差分法和有限體積法等數值方法,對原定解問題或其等價形式離散,並歸結為一個線性代數方程組,最終在計算機上求得精確解在離散格線點上的近似值。求解涉及數值方法及其理論分析(穩定性、收斂性、誤差估計)、計算機上的實現等一系列問題。

求解效率

求解的效率,一方面依賴計算機運行的速度,另一方面也依賴數值方法或算法,而且這方而更為重要。自從1946 年第一台電子計算問世(運行速度每秒500 次乘法),到目前的千萬億次的超級計算機,計算速度得到了飛速發展。但對一個n 階線性代數方程組,若用克拉默法則求解(運算量為(n-1)(n+1)!),當n= 50 時,即使用1千萬億次/秒(
次/ 秒)的計算機來計算,也至少需要
秒,超過宇宙的年齡(
秒);若用高斯消元法(運如最為
)求解,不到 1 秒即可完成。所以研究高性能的數值理論力方法及算法(如並行算法)至關重要,這是發展趨勢,而且,如何求解得更快、更精確以及適應更複雜、規模更大的問題始終是值得研究的課題。

套用

數值近似求解的研究由來已久,但只是在20 世紀後期電子計算機產生後,才得到廣泛的發展和套用(如有限元理論始於60年代)。目前數值求解的規模也變得更大,例如在太空飛行器設計、湍流模擬、氣候預測、油田開發等各種實際問題中,經常過到大規模(格線數至少在百萬以上)的運算量問題。偏微分方程的數值求解已滲透到物理、化學、生物等現代科學與工程的各領域,對科技和國民經濟的發展有重要作用。
偏微分方程是構建科學、工程學和其他領域的數學模型的主要手段。一般情況下,這些模型都需要用數值方法去求解。藉助拋物線型、雙曲線型和橢圓型方程常用的有有限差分方法、有限元方法、有限體方法、修正方程分析、辛積分格式、對流擴散問題多重網路共軛梯度法。利用極大值原理能量法和離散傅立葉分析清晰嚴格地處理了穩定性問題。

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