佩龍公式

數學或更具體地,其分支解析數論中,佩龍公式源自奧斯卡·佩龍,是利用逆Mellin 變換來計算算術函式的和。

基本介紹

  • 中文名:佩龍公式
  • 學科數學
定理陳述,證明,例子,

定理陳述

令 {a(n)} 為一算術函式,並令
為其對應的狄利克雷級數。假設這狄利克雷級數對
一致收斂,那么佩龍公式為:
此處求和符號上的一撇表示當x是整數時,和式中最後一項要乘以1/2。這個積分不是收斂的勒貝格積分,應當理解為柯西主值。這個公式要求c> 0,c> σ 和實數x> 0,但除以上條件以外別無限制。

證明

阿貝爾求和公式可以得到一個簡單的證明梗概:
這不過是在變數代換{\displaystyle x=e^{t}}下的拉普拉斯變換,運用拉普拉斯變換的反轉公式就能得到佩龍公式。

例子

由於和狄利克雷級數的關係,佩龍公式常被用於解析數論中的求和。例如我們對黎曼ζ函式有如下的著名積分表示:
對於狄利克雷L函式也有類似的公式:
其中

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