伯克霍夫積分

伯克霍夫積分(Birkhoff integral)是一種向量值函式的積分，是伯克霍夫(G.D.Birkhoff)於1935年提出的.，伯克霍夫積分除富比尼定理外，具有通常勒貝格積分所具有的線性、可列可加性、絕對連續性等性質。博赫納可積必然伯克霍夫可積（逆命題並不成立），並且兩個積分相等。

基本介紹

• 中文名：伯克霍夫積分
• 外文名：Birkhoff integral
• 所屬學科：數學(測度論)
• 屬性：一種向量值函式的積分
• 提出者：伯克霍夫於1935年提出的

基本介紹

伯克霍夫積分(Birkhoff integral)是一種向量值函式的積分，設是σ有限測度空間，是定義在Ω上而取值於巴拿赫空間X的向量值函式，給定Ω的一個可列分劃

如果在每個上有界且級數

無條件收斂，則稱關於可列分劃Δ可求和，此種和的全體

的凸閉包，稱為關於Δ的積分值域，記為，如果對任意ε>0，存在Ω的可列分劃Δ(ε)，使關於Δ(ε)可求和，且J(x，Δ(ε))的直徑小於ε，則說x(t)在Ω上伯克霍夫可積，並稱由一切可列分劃Δ所得到的的交集(X中的單點集)為x(t)在Ω上的伯克霍夫積分，記為

即

此積分是伯克霍夫(G.D.Birkhoff)於1935年提出的，在Ω上伯克霍夫可積的函式在任意的上仍為伯克霍夫可積函式.。伯克霍夫積分作為向量值集函式具有絕對連續性和可列可加性，對於被積函式具有線性性質，但富比尼定理不成立，博赫納可積函式必是伯克霍夫可積的，其逆不真。

伯克霍夫,G

伯克霍夫，G.(Birkhoff，Garrett，1911-1996)是美國數學家、邏輯學家。G.D.伯克霍夫之子。生於普林斯頓。1932年畢業於哈佛大學。1932-1933年赴英國劍橋大學讀研究生。1950年任國際數學家大會主席。美國國家科學院、美國文理科學院院士。G.伯克霍夫以有廣泛的科學興趣而著稱，他的主要貢獻在抽象積分、微分方程定性理論、一般拓撲學和流體動力學等方面。他建立了在有限測度空間上定義的、在巴拿赫空間中取值的函式，按勒貝格積分的構造方法定義的積分，現稱之為伯克霍夫積分。在第二次世界大戰期間，他研究了水平彈道學問題。以後研究方向轉向集合論和數理邏輯方面。研究了代數系統的理論結構表示，這種系統滿足海廷公理。在可結合代數方面，他提出了著名的伯克霍夫一維特(E.Witt)關於李代數的可表示性定理。他還研究了一般拓撲學中的穆爾-史密斯收斂性。其主要著作有《格論》(1940)、《近世代數概論》(與麥克萊恩合著，第3版，1965)和《代數學》(與麥克萊恩合著，1967)等。