亞純函式的熱力形式及值分布的研究

《亞純函式的熱力形式及值分布的研究》是依託清華大學，由鄭建華擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：亞純函式的熱力形式及值分布的研究
• 依託單位：清華大學
• 項目負責人：鄭建華
• 項目類別：面上項目

項目摘要

本項目主要研究亞純函式在其Julia集上的熱力形式及其刻畫亞純函式的值分布論中的若干問題。亞純函式的熱力形式的研究主要是確立位移運算元，拓撲壓函式，共形測度，不變Gibbs測度，平衡狀態，最大化測度，各類維數，如Hausdorff維數，Packing維數以及相應的測度，幾何測度等。我們將在球面上雙曲亞純函式已取得成果上進一步研究雙曲亞純函式的熱力形式，主要致力於拋物亞純函式，幾何有限亞純函式及非回歸亞純函式的熱力形式的研究，並研究一般亞純函式的共形測度，不變測度及維數。發展在亞純函式值分布論中的位勢論，並藉助位勢論來研究亞純函式的值分布，將涉及亞純曲線的值分布，研究亞純函式的奇異方向及各類新的虧量。

結題摘要

超越亞純函式的動力系統主要研究亞純函式疊代下等度連續意義的穩定性與非穩定性，所有的非穩定點構成之集稱為Julia集。亞純函式在其Julia集上的動力性態是重要的研究方面，可測動力學是令人注目中的一個，如Julia集的維數以及其上與維數相關的測度等。 本項目主要研究亞純函式的熱力形式的各個方面，如位移運算元、壓函式、共形測度、不變Gibbs測度及Hausdorff維數等。我們進一步完善了球面上的雙曲亞純函式的熱動力形式，建立了拋物亞純函式的非原子的共形測度以及相應的等價的不變測度的存在性，確定了共形測度的指數正好是Julia集的Hausdorff維數。這些方法也套用到了幾何有限的亞純函式上，形成一個基本的方法。確立有限性亞純函式以及B類的無窮點不是奇異點的亞純函式的共形測度的存在性，並指出亞純函式雖然具有共形測度，但可以所有的共形測度都是原子的。發展Peter Walters理論，確定了一定覆蓋條件下的連續函式的不變Gibbs測度的存在性。這些工作完善或補充了亞純函式的動力系統的研究，具有科學意義和學術價值的。本項目還要研究亞純函式的值分布中的問題，如奇異方向和虧量等。我們利用位勢理論建立了全純曲線在角域上的三大特徵的基本定理，由此開創了全純曲線在角域上的值分布的研究，我們確定了Borel方向、T方向的存在性，在角域上的唯一性，具有射線分布超平面的全純曲線的增長性等。研究了單位圓盤上和平面上的代數體函式的值分布，T方向、T點的存在性以及具有射線分布值的代數體函式的增長性。