互反

互反律可能是指：二次互反律或三次互反律。在數論中，特別是在同餘理論里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一個用於判別二次剩餘，即二次同餘方程之整數解的存在性的定律；三次互反律是關於模代數中兩個對應的三次方程的可解性之間的關係的結論和定理。

基本介紹

• 中文名：互反
• 外文名：Reciprocita
• 分類：二次互反律，三次互反律

二次互反律

在數論中，特別是在同餘理論里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一個用於判別二次剩餘，即二次同餘方程 之整數解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程 可解和 可解的簡單關係。運用二次互反律可以將模數較大的二次剩餘判別問題轉為模數較小的判別問題，並最後歸結為較少的幾個情況，從而在實際上解決了二次剩餘的判別問題。然而，二次互反律只能提供二次剩餘的存在性，對於二次同餘方程的具體求解並沒有實際幫助。

二次互反律常用勒讓德符號表述：對於兩個奇素數p和q，

其中 是勒讓德符號。但是對於更一般的雅可比符號和希爾伯特符號也有對應的二次互反律。

歐拉和勒讓德都曾經提出過二次互反律的猜想。但第一個嚴格的證明是由高斯在1796年作出的，隨後他又發現了另外七個不同的證明。在《算數研究》一書和相關論文中，高斯將其稱為“基石”：此基石應當被視為此類型的定理中最為典雅的其中之一。私下裡高斯把二次互反律譽為算術理論中的寶石，是一個黃金定律。

高斯之後雅可比、柯西、劉維爾、克羅內克、弗洛貝尼烏斯等也相繼給出了新的證明。至今，二次互反律已有超過200個不同的的證明。二次互反律可以推廣到更高次的情況，如三次互反律等等。

三次互反律

在數學中，三次互反律是關於模代數中兩個對應的三次方程的可解性之間的關係的結論和定理。

如果是中範數為P的一個素數。與互素。定義三次剩餘符號為一個三次單位根，並滿足

再定義“原初”素數是模3同餘於-1的素數。由於每個素數在乘以中的一個單位元後都會成為“原初”素數，因此關於“原初”素數的定律仍具有普遍性。這時，三次互反律說明，對兩個不同的“原初”素數和，有

此外有輔助定理：如果 那么：

參見

• 同餘
  
• 同餘方程
  
• 二次剩餘
  
• 高斯引理
  
• 二次互反律的證明
  
• 阿廷互反律