中心極限定理

機率論數理統計學伯努利試驗

基本介紹

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歷史發展

定理n重伯努利試驗數理統計學機率論極限理論

定義

獨立同分布方差

標準常態分配

不同分布的中心極限定理

設X₁，X₂，......X_n是一列獨立隨機變數，它們的機率密度分別為 ,並有E(X_k)=μk， ，(k=1,2,...),令：

若對任意正數τ，有

對任意x，隨機變數Y_n的分布函式F_n(x)，滿足

該定理說明：所研究的隨機變數如果是有大量獨立的而且均勻的隨機變數相加而成，那么它的分布將近似於常態分配。

套用

中心極限定理在A/B測試中的套用

中心極限定理是機率論中最重要的一類定理，它支撐著和置信區間相關的T檢驗和假設檢驗的計算公式和相關理論。如果沒有這個定理，之後的推導公式都是不成立的。

事實上，以上對於中心極限定理的兩種解讀，在不同的場景下都可以對A/B測試的指標置信區間判定起到一定作用。

對於屬於常態分配的指標數據，我們可以很快捷地對它進行下一步假設檢驗，並推算出對應的置信區間；而對於那些不屬於常態分配的數據，根據中心極限定理，在樣本容量很大時，總體參數的抽樣分布是趨向於常態分配的，最終都可以依據常態分配的檢驗公式對它進行下一步分析。

其他舉例

1.某炮兵陣地對敵人的防禦地段進行100次射擊，每次射擊中炮彈的命中數是一個隨機變數，其期望為2，方差為1.69，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標的機率。

解：設Xk表示第k次射擊中的炮彈數，則E(X_i)=2，D(X_i)=1.69，且S₁₀₀=X₁+X₂+…+X₁₀₀，套用中心極限定理，近似服從N(0,1)，由題意，所以：

所以在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標的機率為87.64%.

2.一個複雜系統由100個相互獨立的元件組成，在系統運行時每個元件損壞的機率為0.1，為使系統正常工作，至少必須有85個元件工作，求系統的可靠度(正常工作的機率)。

解：以X表示100個元件中正常工作的元件數，則X～B(100,0.9)，由二項分布的正態近似，

即正常工作的機率為95.25%.