不等邊三角形

常見的三角形按邊分有不等邊三角形，等腰三角（腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形）。

不等邊三角形，數學定義，指的是三條邊都不相等的三角形叫不等邊三角形。

不等邊三角形的內心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四邊形的四個頂點。

基本介紹

• 中文名：不等邊三角形
• 外文名：scalene triangle
• 概念：二或三條邊都不相等的三角形
• 學科：數理科學
• 類型：數學術語
• 三角形：三條線段‘首尾’順次連線的圖形

三角形

三角形是由同一平面內不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連線所組成的封閉圖形，在數學、建築學有套用。

常見的三角形按邊分有不等邊三角形（三條邊都不相等），等腰三角（腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形）；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角形和鈍角三角形統稱斜三角形。

若一個三角形的三邊分別為a、b、c，則周長 。

面積公式為 （面積=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所對應的高）注釋：三邊均可為底，應理解為：三邊與之對應的高的積的一半是三角形的面積。這是面積法求線段長度的基礎。

定義

三條邊都不相等的三角形叫不等邊三角形。

若干“心”的一個性質

不等邊三角形的內心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四邊形的四個頂點。

為了證明上述性質，先說明幾個引理。

引理1：△ ABC中AD、BE、CF為三邊上的高,垂心為H，則該三角形三邊之中點，三個垂足D、E、F，三線段HA、HB、HC之中點九點共圓，且線段HA、BC之中點連線線段的中點是九點圓圓心。

引理2：設△ ABC外心為O、垂心為H、則線段OH之中點是九點圓圓心。

引理3：△ ABC的內心是其旁心三角形的垂心。

引理4：設不等邊△ ABC的外心為O、垂心為H、內心為I、界心為K。則OI平行且等於二分之一的KH。
性質證明：

設不等邊△ ABC的旁心三角形為△ DEF(如圖)，O、I、H、K分別為△ ABC外心、內心、垂心、界心。由引理4，OI平行且等於二分之一的KH；由引理3及其證明過程知，△ ABC內心I為旁心△ DEF的垂心，且直線DIB⊥EF，直線EIA⊥ DF，直線FIC⊥ DE，又由引理1知，△ DEF九點圓圓心為△ ABC外心O；設△ DEF外心為M，由引理2，有△ DEF外心M與垂心I的連線線段中點應為△ DEF九點圓圓心O，故M、O、I共線且MO = OI。由OI平行且等於二分之一的 KH，有MI平行且等於KH，即四邊形MIHK為平行四邊形。故△ ABC的內心I、垂心H、界心K及旁心三角形的外心M構成平行四邊形的四個頂點。命題得證。

等邊三角形

定義

等邊三角形（又稱正三邊形），為三邊相等的三角形，其三個內角相等，均為60°，它是銳角三角形的一種。等邊三角形也是最穩定的結構。等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質。

尺規做法

第一種：可以利用尺規作圖的方式畫出正三角形，其作法相當簡單：先用尺畫出一條任意長度的線段（這條線段的長度決定等邊三角形的邊長），再分別以線段二端點為圓心、線段為半徑畫圓，二圓匯交於二點，任選一點，和原來線段的兩個端點畫線段，則這二條線段和原來線段即構成一正三角形。

第二種：在平面內作一條射線AC，以A為固定端點在射線AC上截取線段AB=等邊三角形邊長，然後保持圓規跨度分別以A,B為端在AB同側點作弧，兩弧交點D即為所求作的三角形的第三個頂點。