三角形行列式

三角形行列式

三角形行列式(triangular determinant)是一種特殊的行列式,包括上三角形行列式和下三角形行列式,亦稱上三角行列式和下三角行列式,統稱三角形行列式。每個行列式都可以只運用行或者列的性質化為一個與其相等的上(下)三角形行列式,上(或下)三角形行列式都等於它們主對角線上元素的乘積。

基本介紹

  • 中文名:三角形行列式
  • 外文名:triangular determinant
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:高等代數(行列式) 
  • 分類:上三角行列式和下三角行列式
  • 簡介:一種特殊的行列式
基本介紹,下三角形行列式,上三角形行列式,對角形行列式,化為上(下)三角形行列式,

基本介紹

下三角形行列式

主對角線上方元素全為零的行列式,也即非零元素只出現在主對角線及下方的行列式,稱為下三角形行列式(當i<j時,
)。
對下三角形行列式總有:
證明:行列式及其餘子式均依次按第一行展開即得。

上三角形行列式

主對角線下方元素全為零的行列式,也即非零元素只出現在主對角線及上方的行列式,稱為上三角形行列式(當i>j時,
)。
對上三角形行列式也總有:
證明:行列式及其餘子式均依次按第一行展開即得(或因為上三角形行列式與下三角形行列式互為轉置行列式)。

對角形行列式

主對角形行列式:主對角線上方、下方的元素全為零的行列式稱為主對角形行列式。
主對角形行列式既是上三角形行列式又是下三角形行列式。
副對角形行列式:副對角線上方、下方的元素全為零的行列式稱為副對角形行列式。

化為上(下)三角形行列式

在計算行列式(特別是數字行列式)時,可先利用行列式的性質,把行列式化為上(下)三角形行列式,再利用上面的結果進行計算。
解題思路:利用行列式的性質,可逐步將所給行列式化為三角形行列式,化零時一般儘量選含有1的行(列)及含零較多的行(列),若沒有1,則可適當選取便於化為零的數,或利用行列式的性質將某行(列)中的某數化為1;若所給行列式中元素間具有某些特徵,則應充分利用這些特徵,常見的有:
(1)行列式所有行(或列)全部元素化為1;
(2)對爪形(三線型)行列式,可通過將其餘各行(或列)的某一倍數加到第1行(或列)而化為三角形行列式;
(3)若行列式的各行(或列)之間差別不大,可採用逐行(或列)相加(或減)的方法,將其化簡後進行計算;
(4)對某些行列式,可在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不變,使其具有某種特徵,便於計算,一般稱此法為加邊法;
總之,掌握行列式的特徵是計算行列式的關鍵,在此基礎上,充分利用行列式的性質,靈活選用方法,值得注意的是,同一個行列式有時會有不同的求解方法,可選取相對簡單的方法或自己最熟悉的方法。
【例1】計算行列式:
解:將第一行分別加到第2,3,4,...,n行,有
【例2】計算行列式:
解:將第2行乘-1加到第1行,再第4行乘-1加到第3行,分別有

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