三角形外心

三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心。三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊垂直平分線的交點，三角形的三個頂點就在這個外接圓上。

基本介紹

• 中文名：三角形外心
• 定義：三角形外接圓的圓心
• 套用領域：幾何
• 基本性質：外心到三個頂點的距離相等

共點證明

.

∵l、m分別為線段AB、AC的中垂線

∴AF=BF=CF

∴BC中垂線必過點F

性質

設⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．

性質1：（1）銳角三角形的外心在三角形內；

（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；

（3）鈍角三角形的外心在三角形外.

（4）等邊三角形外心與內心為同一點。

性質2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A)）.

性質3：∠GAC+∠B=90°

證明：如圖所示延長AG與圓交與P（B、C下面的那個點）

∵A、C、B、P四點共圓

∴∠P=∠B

∵∠P+∠GAC=90°

∴∠GAC+∠B=90°

性質4：點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件是：

（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).

或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.

性質5：三角形三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等。

性質6：點G是平面ABC上一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.

做法

分別作三角形兩邊的中垂線交點計作O以O為圓心OA為半徑畫圓

圓O即為所求

求法

設三角形三邊及其對角分別為a、b、c，∠A、∠B、∠C

正弦定理有 1) 2R=a/SinA=b/SinB=c/SinC(人教高中版)

由此可得：r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）

r=abc/（4S△ABC）

三角形外心的向量關係

向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC為三角形三個頂點，P為外心）