三正弦定理

該定理從老版高中教材人教版《數學》必修第二冊（下A），P35的例1：“河堤斜面與水平面所成的二面角為60°，堤面上有一條直道CD，它與堤腳水平線AB的夾角為30°，沿這條直道從堤腳向上行走10m時人升高了多少？”抽象出來的一般結論。

基本介紹

• 中文名：三正弦定理
• 表達式：sinγ=sinα·sinβ
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：立體幾何

定理概述

設二面角M－AB－N的度數為，在平面M上有一條射線AC，它和棱AB所成角為，和平面N所成的角為，則（如圖）。

（註明：摺疊角公式（又名：三餘弦定理）以及三正弦定理的套用為立體幾何的解題帶來了許多方便。）

若已知二面角其中一個半平面內某直線與二面角的棱所成的角，以及該直線與另一半平面所成的角，則可以求該二面角的正弦值。

三正弦定理示意圖

定理證明

如上圖，過C作CO⊥平面N於點O，過O作直線OB⊥二面角的棱於點B，連OA，CB，則易知△CAO，△CBO，△ABC均為直角三角形．

於是，，，。

由此容易推得。

定理套用

如果將三正弦定理和三餘弦定理聯合起來，用於解答立體幾何綜合題，你會發現出乎意料地簡單，甚至不用作任何輔助線！

例1　如圖，已知是正三稜柱，D是AC中點，若，求以為棱，與為面的二面角的度數（1994年全國高考理科數學23題）。

三正弦定理套用之例1題圖

三正弦定理套用之例1解答

例2　已知Rt△ABC的兩直角邊AC=2，BC=3．P為斜邊AB上一點，現沿CP將此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下圖），當AB=時，求二面角P－AC－B大小（上海市1986年高考試題，難度係數0.28）。

三正弦定理套用之例2題圖

三正弦定理套用之例2解答

參見

三餘弦定理