在三面角O-ABC中，設二面角B-OA-C為∠OA，則有：
cosBOC=cosAOBcosAOC+sinAOBsinAOCcosOA
或
cosOA=(cosBOC-cosAOBcosAOC)/sinAOBsinAOC
文字敘述為：三面角中任一二面角的餘弦值，等於其所對面角的餘弦減去另兩個面角的餘弦之積，再除以這兩個面角的正弦之積。
根據這個定理，結合三正弦定理就可以求直線和平面所成角或二面角。
基本介紹
- 中文名：三面角餘弦定理
- 表達式：cosBOC=cosAOBcosAOC+sinAOBsinAOCcosOA
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：求二面角
證明,方法一,方法二,三面角餘弦定理第二形式,第二形式,證明,全向量證明,
證明
方法一
在OA上取一點D，過D作OD的垂線DE、DF分別交OB、OC於E與F。接著使用向量證明。
考慮有向線段OD、OE、OF、DE、DF。易知：
cos∠OA=DE·DF/(DE*DF)
sin∠AOB=DE/OE
sin∠AOC=DF/OF
cos∠AOB=OD/OE
cos∠AOC=OD/OF
cos∠BOC=OE·OF/(OE*OF)；
則實際是要證明：
DE·DF/(DE*DF)*DE/OE*DF/OF+OD/OE*OD/OF=OE·OF/(OE*OF)
整理得(DE·DF+OD2)/(OE*OF)=OE·OF/(OE*OF)
即是要證明OD2+DE·DF=OE·OF；
顯然，OE·OF=(OD+DE)·(OD+DF)=OD2+OD·DE+OD·DF+DE·DF，
注意到OD·DE=OD·DF=0，即可證明原式。
方法二
將三面角O-ABC放入單位球中，並設三面角與球面的交點分別為A、B、C。過A作球面的切平面，射線OB、OC與切平面交點為B'、C‘。則：
∠OA=∠B'AC'=A，AB'=tan∠AOB=tanc，AC'=tan∠AOC=tanb，OB'=1/cos∠AOB=1/cosc，OC'=1/cos∠AOC=1/cosb
在△AB'C'中，由余弦定理得
B'C'2=tan2c+tan2b-2tanc*tanb*cosA
在△OB'C'中，由余弦定理得
B'C'2=1/cos2c+1/cosb-2cos∠BOC/(cosc*cosb)
∴sin2c/cos2c+sin2b/cos2b-2sinc*sinb*cosA/(cosc*cosb)
=1/cos2c+1/cos2b-2cos∠BOC/(cosc*cosb)
兩邊乘以cos2c*cos2b得
sin2c*cos2b+sin2b*cos2c-2sinc*cosc*sinb*cosb*cosA
=cos2b+cos2c-2cosb*cosc*cos∠BOC
移項，整理得
cos2b(1-sin2c)+cos2c(1-sin2b)-2cosb*cosc*cos∠BOC=-2sinc*cosc*sinb*cosb*cosA
化簡得cos∠BOC=cosb*cosc+sinb*sinc*cosA
也就是cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC+sin∠AOBsin∠AOCcos∠OA
三面角餘弦定理第二形式
第二形式
在三面角O-ABC中，設二面角B-OA-C為∠OA，則有：
證明
將三面角O-ABC的頂點與單位球的球心重合，並設三邊與球面分別交於A、B、C。根據球面三角形的定義，在球面△ABC中，∠AOB=c，∠BOC=a，∠AOC=b；∠OA=A，∠OB=B，∠OC=C。則餘弦定理的第一形式可化為：
餘弦定理的第二形式可化為：
由於球面三角形與其極對稱三角形之間存在定量的邊角關係，因此不妨設球面△ABC的極對稱三角形為△A'B'C'，則在△A'B'C'中，由余弦定理的第一形式得
∵a'=π-A，b'=π-B，c'=π-C，A'=π-a
∴上式可化為
即
證明完畢
全向量證明
三面角餘弦定理的全向量證明