一般拓撲學(學科名)

一般拓撲學（geoneral topology）是用點集的方法研究拓撲不變數的拓撲分支。它的前身是點集拓撲學。

一般拓撲學的歷史約六十年，由於它適應了科學的發展，其生命力是相當旺盛的。由於一般拓撲學的建立，一些邊緣學科也相繼產生，於是，拓撲學及與拓撲學密切相關的學科在純粹數學中的地位愈來愈重。

基本介紹

• 中文名：一般拓撲學
• 外文名：geoneral topology
• 前身：點集拓撲學
• 產生時間：19世紀
• 創始人：M.-R.弗雷歇
• 套用學科：數學、拓撲學

歷史起源

點集拓撲學是一般拓撲學的前身，產生於19世紀。G.康托爾建立了集合論，定義了歐幾里得空間中的開集、閉集、導集等概念，獲得了歐幾里得空間拓撲結構的重要結果。1906年M.-R.弗雷歇把康托爾的集合論與函式空間的研究統一起來，建立了廣義分析，可看為拓撲空間理論建立的開始。

拓撲學的起源要上溯到數學家歐拉(Enler1907-1783年)生活的時代，有人說拓撲學產生於哥尼斯堡( K oenigsberg)七橋問題，因此，人們稱歐拉為“拓撲學的鼻祖”。但是，十九世紀中期之前，拓撲主要是由孤立觀察到的一些結果而組成。雖然，“拓撲”這個名詞曾先由高斯(F. Gauss 1777- 1855年)的學生里斯丁 (J. B. L isting1806一1882年)在1847年的《拓撲學初步》一書中第一次出現。在這以前，菜布尼茲(G.W.Leibniz 1646一1716年)在幾何圖形的某些定性的研究中也曾引進了“位置幾何”的名詞。就是今天考慮的拓撲。但是，他對這門學科沒有多大貢獻。在十九世紀末和二十世紀初，拓撲通常稱為“位置分析”。而像今天這樣系統地研究一般拓撲學實際上起源於德國數學家康托(G.Cantor 1845一1918)和法國數學家弗里歇 (M.Frechet 1878 - 1973)，匈牙利數學家李斯(F. Riesz 1880一一1956)及德國數學家豪斯道夫(F.Hausdorff 1868一一1942)等人。康托在1879 -- 1884年創立了集合論後，同時考慮了歐氏空間中的點集，如極限和閉包等性質，為創立拓撲學奠定了基礎。弗里歇在1906年和李斯1909年將極限的概念推廣到函式的集上去，而1914年出現了豪斯道夫的點集論綱要，因而近代的一般拓撲產生了。

主要理論內容

泛函分析的興起，希爾伯特空間和巴拿赫空間的建立，更促進了把點集當作空間來研究。數學分析研究的中心問題是極限，而收斂與連續又是極限的基本問題。為把收斂與連續的研究推廣到一般集合上，需要在一般集合上描述與點或與集合“鄰近”的概念。如何描述“鄰近”，可以用“距離”，但“距離”與“鄰近”並無必然的聯繫。1914年F.豪斯道夫開始考慮用“鄰域”來定義拓撲。對一個非空的集合X，規定X的每點有一個包含此點的子集作成的子集族，滿足一組鄰域公理（即仿照歐幾里得空間鄰域所具特性給出的一組性質）。該子集族中的每個集合稱為這點的一個鄰域 。這就給出了X的一個拓撲結構。X連同此拓撲結構稱為一個拓撲空間。X的每點有鄰域，故可研究一點的鄰近，由此可仿照微積分的方法定義兩個拓撲空間之間的連續映射的概念。若一個映射連續，且存在逆映射，逆映射也連續，則稱此映射為同胚映射。具有同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的（直觀地說即兩個空間相應的圖形從一個可連續地形變為另一個）。要證明兩個空間同胚，只要找到它們之間的同胚映射即可。在歐幾里得直線上，作為子空間，兩個任意的閉區間同胚；任意兩開區間同胚；半開半閉的區間[c，d]與[a,b]同胚。二維球面挖去一個點s2－p與歐幾里得平面K2同胚。

要證明兩個拓撲空間不同胚，需證明它們之間不存在同胚映射。方法是找同胚不變數或拓撲不變性（即在同胚映射下保持不變的性質）；第一個空間具有某同胚不變數，另一個空間不具有，則此二空間不同胚。一般拓撲學中常見的拓撲不變性有連通性、道路連通性、緊性、列緊性、分離性等（見拓撲空間）。在歷史上F.豪斯多夫提出了分離空間；弗雷歇看出了緊性與列緊性有密切關係；L.S.烏雷松對緊空間進行了系統研究 ，且在拓撲空間可否變數化的問題上作出了貢獻 ；1937年H.嘉當引進了“濾子”的概念，能進一步刻畫一致收斂，使收斂的更本質的屬性揭示了出來；維數的問題是E.嘉當在研究皮亞諾曲線（一種可填滿整個正方形的“曲線”）時提出的，1912年H.龐加萊給出定義，烏雷松等人加以改進。

作用

首先由一般拓撲學的發展，為進一步數學的抽象提供了新的模型。我們知道，數學發展的一個重要標誌是其語言不斷地豐富，數是數學中最重要的語言，而康托創立了集合論後，集合就成了近代數學最重要的語言。近世代數、拓撲學、泛函分析都是建立在集合論的基礎上。而1948年，波蘭的愛倫伯格(Eilonborg1913-)和美國的桑·麥克倫(Mailace,1909-)提出了範疇論，這將成為現代數學中一個很重要的語言。而範疇論就是建立在現代數學的兩大基礎部門一抽象代數和拓撲學一之上的一門抽象性更高、概括性更強的新數學:在範疇論中通常將拓撲範疇、群範疇、環範疇、模範疇等。

另一方面，正由於一般拓撲的發展，因此，拓撲空間，連續映射當然是現代數學研究的一個重要對象，從而促使各種方法來研究這個對象，因而建立了與一般拓撲有關的各個數學分支。比如代數拓撲、微分拓撲、同倫論、同泛論、網路拓撲、線性拓撲空間、拓撲群等等。比如代數拓撲的基本對象是研究拓撲空間和它們的連續映射，如果我們能知道全體拓撲空間，全體連續映射和它們之間的全體關係，那末我們的目的便達到了。但這個目的顯然是不能達到的，拓撲空間和連續映射都多而又多，因此，數學家們退一步而引進代數方法即代數較之拓撲易於掌握的這種構想之下，讓拓撲空間和連續映射決定一些叫做拓撲不變數的代數對象。為了有效，這些不變數也構想為了可以計算的。由於代數拓撲的發展，代數拓撲現在也成了許多套用數學分支的重要工具。